Potencias y radicales

Curso completo · 50 ejercicios resueltos

Potencias y raíces desde cero

Una página central para estudiar potencias y radicales con orden: significado de una potencia, base y exponente, exponentes negativos, signos y paréntesis, potencias de fracciones, exponentes racionales, raíces cuadradas y cúbicas, simplificación de radicales, operaciones con raíces y racionalización.

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50 ejercicios de potencias y raíces desde cero - Matemáticas con Juan — Clase completa de Potencias y Raíces con 50 ejercicios resueltos paso a paso.

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Cómo estudiar esta clase

Las potencias y las raíces no se aprenden memorizando una lista de recetas. Conviene reconocer la estructura de cada expresión, justificar las transformaciones y comprobar que distintas rutas pueden conducir al mismo resultado. Empieza por los primeros ejercicios, avanza por bloques y usa el índice para volver exactamente al punto del vídeo que necesites. Si quieres reforzar previamente la aritmética, puedes trabajar las operaciones combinadas y las operaciones con fracciones. Para una práctica global, tienes también los 100 ejercicios de Aritmética.

Idea central: HAY MUCHOS CAMINOS. Las propiedades de las potencias y de los radicales son herramientas para transformar expresiones de formas equivalentes. Lo importante es entender por qué cada paso es válido.

Bloques del curso

A

Potencias desde cero

Ejercicios 1–10. Significado de una potencia, base y exponente, producto de potencias, potencia de una potencia y exponentes negativos.

B

Signos, paréntesis y propiedades

Ejercicios 11–20. Simplificación, cocientes, bases negativas, exponente cero y diferencias entre expresiones con y sin paréntesis.

C

Fracciones y exponentes racionales

Ejercicios 21–34. Potencias de fracciones, exponentes negativos, raíces como potencias y exponentes fraccionarios o decimales.

D

Simplificación y operaciones con radicales

Ejercicios 35–44. Simplificación, producto y cociente de radicales, radicales semejantes, raíces sucesivas y conjugados.

E

Racionalización

Ejercicios 45–50. Racionalización con raíces cuadradas, raíces cúbicas y conjugados.

Propiedades esenciales de potencias y radicales

Producto, misma base

\(a^m\,a^n=a^{m+n}\)

Cociente, misma base

\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), \(a\neq0\)

Potencia de una potencia

\((a^m)^n=a^{mn}\)

Exponente negativo

\(a^{-n}=\dfrac1{a^n}\), \(a\neq0\)

Exponente cero

\(a^0=1\), \(a\neq0\)

Producto con mismo exponente

\(a^n b^n=(ab)^n\)

Cociente con mismo exponente

\(\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac ab\right)^n\)

Exponente racional

\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\)

Producto de radicales

\(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)

Cociente de radicales

\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac ab}\)

Suma por diferencia

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Conjugado

\(a+\sqrt b\ \longleftrightarrow\ a-\sqrt b\)

Atención: las condiciones de validez importan. En particular, cuando aparecen exponentes fraccionarios, raíces pares o números negativos, hay que tener en cuenta el conjunto numérico en el que se está trabajando. En la racionalización con conjugados aparece de forma natural la suma por diferencia; puedes profundizar en esa estructura en Productos notables desde cero.

Índice de los 50 ejercicios

Cada ejercicio incluye una descripción, palabras clave matemáticas y un enlace al momento de inicio dentro del vídeo completo. Así puedes usar esta página como mapa de estudio y localizar rápidamente temas como exponentes negativos, radicales semejantes o racionalización.

Bloque A · Potencias desde cero

1 1:17

Potencias: base y exponente

\(2\cdot2\cdot2\cdot2\)

Escribimos una multiplicación repetida de forma compacta mediante una potencia.

potenciasbaseexponente

2 2:05

Cómo calcular una potencia

\(2^6\)

Interpretamos el exponente como número de factores iguales y calculamos la potencia.

calcular potenciasexponentepotencias desde cero

3 3:03

Producto de potencias de la misma base

\(2^2\cdot2^3\)

Vemos dos caminos: desarrollar los factores o sumar los exponentes.

producto de potenciasmisma basesumar exponentes

4 7:22

Potencias con exponente negativo

\(3^{-2}\)

Relacionamos el exponente negativo con el inverso de una potencia positiva.

exponente negativoinversopotencias

5 8:58

Producto con exponentes positivos y negativos

\(3^4\cdot3^{-2}\)

Sumamos exponentes de potencias con la misma base y comprobamos el resultado por otro camino.

producto de potenciasexponentes negativosmisma base

6 12:58

Producto de potencias con bases distintas

Agrupamos cada base con sus potencias y aplicamos las propiedades correspondientes.

bases distintasproducto de potenciassimplificar potencias

7 14:15

Suma de potencias iguales

\(3^3+3^3+3^3\)

Interpretamos la suma como varias cantidades iguales y factorizamos la potencia común.

suma de potenciasfactor comúnpotencias

8 16:10

Potencia de una potencia

\((2^3)^2\)

Comprobamos la propiedad de la potencia de una potencia y multiplicamos exponentes.

potencia de una potenciamultiplicar exponentespropiedades de potencias

9 19:54

Propiedades de las potencias combinadas

\((2^3)^5\cdot(2^4)^{-3}\)

Combinamos potencia de una potencia y producto de potencias con la misma base.

propiedades de potenciasexponente negativopotencia de una potencia

10 23:45

Potencias de base 2 con exponentes negativos

Reescribimos factores mediante potencias de 2 y trabajamos con exponentes negativos.

base 2exponentes negativossimplificación

Bloque B · Signos, paréntesis y propiedades

11 31:11

Simplificar antes de operar

\(\frac{9\cdot4\cdot2^2}{36\cdot3^3}\)

Detectamos factores que se pueden simplificar antes de desarrollar las potencias.

simplificar fraccionespotenciascancelar factores

12 33:12

Producto y cociente de potencias

\(\frac{4^{-9}\cdot5^{-9}}{20^{-11}}\)

Unimos bases con el mismo exponente y después aplicamos el cociente de potencias.

cociente de potenciasmismo exponenteexponente negativo

13 41:17

Potencias de números negativos

\((-3)^2\)

El signo menos forma parte de la base porque está dentro del paréntesis.

base negativaparéntesisexponente par

14 41:54

Base negativa con exponente impar

\((-3)^3\)

Analizamos el signo del resultado cuando la base negativa se eleva a un exponente impar.

base negativaexponente imparsignos

15 43:46

Signo menos y potencias

\(-3^3\)

Distinguimos entre una base negativa y un signo menos situado fuera de la potencia.

signo menosbase de una potenciaparéntesis

16 45:10

Exponente cero

\(5^0\)

Recordamos que toda base no nula elevada a cero vale uno.

exponente ceropotenciasa cero

17 45:54

Signo menos y exponente negativo

\(-3^{-2}\)

Separamos el signo exterior de la potencia y aplicamos la definición de exponente negativo.

exponente negativosignospotencias

18 49:34

Base negativa y exponente negativo

\((-3)^{-3}\)

Combinamos base negativa, exponente impar y exponente negativo.

base negativaexponente negativoinverso

19 51:21

Suma de potencias con números negativos

\((-2)^3+(-2)^2\)

Calculamos por separado una potencia impar y otra par antes de sumar.

potencias negativasexponente parexponente impar

20 52:17

Paréntesis y signo menos en potencias

\((-3)^2\ \text{frente a}\ -3^2\)

Comparamos expresiones parecidas que representan operaciones diferentes.

paréntesissigno menoserrores con potencias

Bloque C · Fracciones y exponentes racionales

21 57:17

Potencias de fracciones

\(\left(\frac12\right)^4\)

Elevamos numerador y denominador y relacionamos la potencia con el producto repetido.

potencias de fraccionesfraccionesexponente

22 59:18

Potencias de fracciones negativas

\(\left(-\frac23\right)^2\)

Trabajamos el signo de una fracción negativa elevada a exponente par.

fracciones negativasexponente parpotencias

23 1:01:34

Fracciones con exponente negativo

\(\left(\frac13\right)^{-3}\)

Transformamos el exponente negativo mediante el inverso y calculamos la potencia.

fracciónexponente negativoinverso

24 1:06:31

Base fraccionaria negativa y exponente negativo

\(\left(-\frac23\right)^{-2}\)

Aplicamos el inverso y controlamos el signo con un exponente par.

fracción negativaexponente negativoexponente par

25 1:09:27

Producto de potencias con base fraccionaria

Sumamos exponentes al multiplicar potencias que comparten la misma base fraccionaria.

base fraccionariaproducto de potenciassumar exponentes

26 1:11:01

Cociente de potencias con la misma base

\(\frac{(8/3)^7}{(8/3)^5}\)

Restamos los exponentes de dos potencias con la misma base fraccionaria.

cociente de potenciasrestar exponentesfracciones

27 1:14:04

Operación combinada con potencias de fracciones

Combinamos inversos, potencias y divisiones de fracciones siguiendo varios caminos equivalentes.

potencias de fraccionesexponente negativooperaciones con fracciones

28 1:24:49

Raíz cuadrada como potencia

\(\sqrt{49}\)

Relacionamos la raíz cuadrada con el exponente fraccionario \(1/2\).

raíz cuadradaexponente fraccionariopotencias y raíces

29 1:27:25

Exponentes fraccionarios

Interpretamos exponentes \(1/2\) y negativos relacionados con raíces e inversos.

exponentes fraccionariosraíz cuadradapotencias

30 1:28:16

Raíz cúbica y exponente 1/3

\((-8)^{1/3}\)

Pasamos de potencia fraccionaria a raíz cúbica y calculamos una raíz exacta.

raíz cúbicaexponente 1/3potencias fraccionarias

31 1:31:17

Exponentes racionales negativos

\((-27)^{-4/3}\)

Combinamos exponente negativo, raíz cúbica y potencia.

exponentes racionalesexponente negativoraíz cúbica

32 1:36:17

Potencias con números decimales

\((0,3)^5\)

Reescribimos un decimal como fracción o como cociente de potencias para calcularlo.

potencias decimalesnúmeros decimalespotencias

33 1:39:20

Exponentes fraccionarios y raíces cúbicas

\(27^{2/3}\)

Combinamos exponentes racionales y una potencia que puede interpretarse mediante raíz cúbica.

exponente 2/3raíz cúbicaexponentes fraccionarios

34 1:43:19

Potencias con bases relacionadas

\(2^{0,86}\cdot4^{0,57}\)

Escribimos 4 como potencia de 2 para trabajar con una sola base.

bases relacionadaspotencias decimalesmisma base

Bloque D · Simplificación y operaciones con radicales

35 1:45:54

Simplificación de radicales

\(\sqrt{72}\)

Extraemos un cuadrado perfecto del radicando para simplificar la raíz.

simplificar radicalesraíz cuadradacuadrado perfecto

36 1:50:21

Producto de radicales

\(\sqrt3\cdot\sqrt{12}\)

Usamos la propiedad del producto de raíces para convertir la expresión en una raíz exacta.

producto de radicalespropiedades de radicalesraíces

37 1:51:25

Cociente de radicales

\(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}\)

Unimos el cociente bajo una misma raíz y simplificamos.

cociente de radicalessimplificar radicalesraíz cuadrada

38 1:55:21

Suma y resta de radicales semejantes

\(2\sqrt5+7\sqrt5-3\sqrt5\)

Operamos los coeficientes de radicales que tienen exactamente la misma parte radical.

radicales semejantessuma de radicalesresta de radicales

39 1:55:52

Simplificar antes de sumar radicales

\(\sqrt{18}+\sqrt8\)

Simplificamos cada raíz para descubrir radicales semejantes.

suma de radicalessimplificar radicalesradicales semejantes

40 2:02:54

Resta de radicales

\(3\sqrt{12}-\sqrt{27}\)

Simplificamos los radicales y después restamos términos semejantes.

resta de radicalessimplificaciónradicales semejantes

41 2:05:33

Raíz de una raíz

\(\sqrt{\sqrt[3]{729}}\)

Transformamos raíces sucesivas en exponentes fraccionarios y obtenemos una raíz sexta.

raíz de una raízraíz sextaexponentes fraccionarios

42 2:09:13

Producto de radicales conjugados

\((\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)\)

Aplicamos suma por diferencia para eliminar los términos radicales cruzados.

radicales conjugadossuma por diferenciadiferencia de cuadrados

43 2:11:02

Cuadrado de una diferencia: error típico

Revisamos un error frecuente al elevar una diferencia al cuadrado.

cuadrado de una diferenciaerror típicoproductos notables

44 2:13:43

Suma por diferencia y diferencia de cuadrados

Reconocemos la estructura \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) aplicada a radicales.

suma por diferenciadiferencia de cuadradosradicales

Bloque E · Racionalización

45 2:15:57

Racionalización de denominadores

\(\frac5{\sqrt3}\)

Eliminamos una raíz cuadrada del denominador multiplicando por un factor adecuado.

racionalizacióndenominadorraíz cuadrada

46 2:17:34

Racionalizar una fracción con raíz cuadrada

\(\frac3{2\sqrt5}\)

Racionalizamos conservando una expresión equivalente.

racionalizarraíz en el denominadorfracciones

47 2:21:45

Racionalización con raíz cúbica

\(\frac2{\sqrt[3]4}\)

Elegimos el factor que completa un cubo perfecto en el denominador.

racionalizaciónraíz cúbicacubo perfecto

48 2:28:51

Racionalización con conjugado

\(\frac1{\sqrt5+2}\)

Multiplicamos por el conjugado para usar una diferencia de cuadrados.

conjugadoracionalizacióndiferencia de cuadrados

49 2:31:21

Racionalizar usando el conjugado

\(\frac3{\sqrt7-\sqrt2}\)

Usamos el conjugado del denominador para eliminar las raíces.

conjugadoracionalizarradicales

50 2:36:24

Racionalización con dos radicales

\(\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}\)

Cerramos la clase racionalizando un cociente con radicales en numerador y denominador.

racionalizaciónconjugadodos radicales

Preguntas frecuentes

¿Desde qué nivel empieza la clase?

Desde lo más básico: qué significa una potencia, qué son la base y el exponente y cómo se calcula una potencia. Después el nivel aumenta progresivamente.

¿Qué diferencia hay entre potencia y raíz?

Las raíces pueden relacionarse con potencias de exponente fraccionario. Por ejemplo, \(\sqrt a=a^0.5\) cuando la expresión está definida en el conjunto numérico considerado.

¿Qué significa un exponente negativo?

Para una base no nula, \(a^-50=1/a^n\). En la clase se trabaja esta idea varias veces con números enteros y fracciones.

¿Qué son radicales semejantes?

Son radicales que, una vez simplificados, tienen la misma parte radical. Entonces se pueden sumar o restar sus coeficientes.

¿Qué significa racionalizar?

Consiste en transformar una fracción para eliminar radicales del denominador sin cambiar su valor.

¿Tengo que aprenderme todas las propiedades de memoria?

Conviene conocerlas, pero el objetivo de la clase es entenderlas y reconocer cuándo pueden utilizarse, no repetir una receta de forma mecánica.

PDF extra: 100 ejercicios de potencias y radicales

Material adicional

Más práctica: 100 ejercicios de potencias y radicales

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