Los ejercicios de aritmética en donde aparecen operaciones combinadas constituyen un reto importante. Te dejo aquí una colección de 25 ejercicios sencillos de aritmética y luego otros 10 mucho más desafiantes.
Ejercicio 1: Potencia de fracción con exponente entero
Enunciado: Calcular \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \).
Paso 1: Elevar numerador y denominador al exponente 2: \( 2^2 = 4 \) y \( 3^2 = 9 \).
Paso 2: Queda \( \frac{4}{9} \).
Resultado: \( \frac{4}{9} \).
Ejercicio 2: Potencia con exponente negativo
Enunciado: Calcular \( \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} \).
Paso 1: Recordar que \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \). Entonces \( \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} \).
Paso 2: \( \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \). Por lo tanto, \( \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{9} \).
Resultado: \( \frac{16}{9} \).
Ejercicio 3: Raíz cuadrada de una fracción
Enunciado: Calcular \( \sqrt{\frac{9}{16}} \).
Paso 1: Extraer raíz cuadrada de numerador y denominador: \( \sqrt{9} = 3 \) y \( \sqrt{16} = 4 \).
Paso 2: Queda \( \frac{3}{4} \).
Resultado: \( \frac{3}{4} \).
Ejercicio 4: Suma de radicales con simplificación
Enunciado: Calcular \( \sqrt{8} + \sqrt{18} \).
Paso 1: Factorizar dentro de cada raíz: \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \) y \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \).
Paso 2: Sumar: \( 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).
Resultado: \( 5\sqrt{2} \).
Ejercicio 5: División de potencias con misma base (en fracción)
Enunciado: Calcular \( \frac{2^5}{2^3} \).
Paso 1: Aplicar la propiedad \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). Así, \( \frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2 \).
Paso 2: \( 2^2 = 4 \).
Resultado: 4.
Ejercicio 6: Operación combinada con fracción y potencias
Enunciado: Calcular \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times 2^2 \).
Paso 1: \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \).
Paso 2: Multiplicar por \( 2^2 = 4 \). Así, \( \frac{1}{8} \times 4 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).
Resultado: \( \frac{1}{2} \).
Ejercicio 7: Raíz cuadrada de un producto de fracciones
Enunciado: Calcular \( \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{4}{9}\right)} \).
Paso 1: Multiplicar dentro de la raíz: \( \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{27} \).
Paso 2: Extraer la raíz cuadrada: \( \sqrt{\frac{4}{27}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{27}} = \frac{2}{\sqrt{27}} \). Simplificar \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \).
Paso 3: Queda \( \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \) al racionalizar.
Resultado: \( \frac{2\sqrt{3}}{9} \).
Ejercicio 8: Racionalización de un denominador radical
Enunciado: Calcular \( \frac{5}{\sqrt{2}} \).
Paso 1: Multiplicar numerador y denominador por \( \sqrt{2} \).
Paso 2: Queda \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \).
Resultado: \( \frac{5\sqrt{2}}{2} \).
Ejercicio 9: Uso de exponente fraccionario (potencia y raíz)
Enunciado: Calcular \( 27^{\frac{2}{3}} \).
Paso 1: Interpretar \( 27^{\frac{2}{3}} = \left(27^{\frac{1}{3}}\right)^2 \). Como \(27^{\frac{1}{3}} = 3\),
Paso 2: se tiene \( 3^2 = 9 \).
Resultado: 9.
Ejercicio 10: Combinación de exponentes negativos
Enunciado: Calcular \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} \).
Paso 1: \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), así que \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{2}{3}} \).
Paso 2: Invertir la fracción: \( \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \).
Resultado: \( \frac{3}{2} \).
Ejercicio 11: Suma de radicales con distinto radicando
Enunciado: Calcular \( \sqrt{5} + \sqrt{20} \).
Paso 1: Simplificar \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \).
Paso 2: Sumar: \( \sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5} \).
Resultado: \( 3\sqrt{5} \).
Ejercicio 12: Resta y racionalización
Enunciado: Calcular \( \frac{3}{\sqrt{3}} – \frac{2}{\sqrt{3}} \).
Paso 1: Se restan los numeradores: \( \frac{3-2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
Paso 2: Racionalizar: \( \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Resultado: \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Ejercicio 13: Operación combinada con radicales y fracciones
Enunciado: Calcular \( \frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{3}{4}\sqrt{2} \).
Paso 1: Simplificar \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). Así, \( \frac{1}{2}\sqrt{8} = \sqrt{2} \).
Paso 2: El segundo término es \( \frac{3}{4}\sqrt{2} \). Suma: \( \sqrt{2} + \frac{3}{4}\sqrt{2} \).
Paso 3: Unificar: \( \left(1 + \frac{3}{4}\right)\sqrt{2} = \frac{7}{4}\sqrt{2} \).
Resultado: \( \frac{7}{4}\sqrt{2} \).
Ejercicio 14: División de radicales simplificada
Enunciado: Calcular \( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}} \).
Paso 1: Descomponer: \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \) y \( \sqrt{6} \) se deja.
Paso 2: Dividir: \( \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 4 \times \sqrt{\frac{3}{6}} = 4 \times \sqrt{\frac{1}{2}} \).
Paso 3: Como \( \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), se obtiene \( 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \).
Resultado: \( 2\sqrt{2} \).
Ejercicio 15: Reducción de exponente racional
Enunciado: Calcular \( 16^{\frac{1}{4}} \).
Paso 1: Escribir \( 16 = 2^4 \), luego \( 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} \).
Paso 2: Multiplicar exponentes: \( 4 \times \frac{1}{4} = 1 \). Queda \( 2^1 = 2 \).
Resultado: 2.
Ejercicio 16: Producto de radicales (con fracciones) y simplificación
Enunciado: Calcular \( \sqrt{\frac{1}{4}} \times \sqrt{\frac{9}{16}} \).
Paso 1: Separar cada raíz: \( \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \) y \( \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \).
Paso 2: Multiplicar: \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \).
Resultado: \( \frac{3}{8} \).
Ejercicio 17: Fracción con sumas de radicales en numerador y denominador
Enunciado: Calcular \( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{18}}{\sqrt{8} + \sqrt{2}} \).
Paso 1: Simplificar radicales: \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) y \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
Paso 2: Numerador: \( \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \). Denominador: \( 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
Paso 3: Cancelar \( \sqrt{2} \): \( \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3} \).
Resultado: \( \frac{4}{3} \).
Ejercicio 18: Resta de potencias con base fraccionaria
Enunciado: Calcular \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 – \left(\frac{3}{2}\right) \).
Paso 1: \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \).
Paso 2: Convertir \( \frac{3}{2} \) a cuarto: \( \frac{3}{2} = \frac{6}{4} \). Luego, \( \frac{9}{4} – \frac{6}{4} = \frac{3}{4} \).
Resultado: \( \frac{3}{4} \).
Ejercicio 19: Potencia combinada (exponente racional y multiplicación)
Enunciado: Calcular \( 64^{\frac{1}{3}} \times 8^{-\frac{1}{3}} \).
Paso 1: \( 64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4 \) y \( 8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2} \).
Paso 2: Multiplicar: \( 4 \times \frac{1}{2} = 2 \).
Resultado: 2.
Ejercicio 20: Fracción con exponente mixto y radical
Enunciado: Calcular \( \left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}} \).
Paso 1: \( \left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \).
Resultado: \( \frac{3}{2} \).
Ejercicio 21: Operación mixta con fracciones y radicales
Enunciado: Calcular \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{12} \).
Paso 1: Simplificar \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \), de modo que \( \frac{1}{2}\sqrt{12} = \sqrt{3} \).
Paso 2: Sumar: \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
Resultado: \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
Ejercicio 22: Combinación de raíces cúbicas y exponente fraccionario
Enunciado: Calcular \( \sqrt[3]{8^2} \).
Paso 1: Reescribir: \( \sqrt[3]{8^2} = 8^{\frac{2}{3}} \).
Paso 2: Como \( 8 = 2^3 \), se tiene \( 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \).
Resultado: 4.
Ejercicio 23: Ecuación de potencias combinadas
Enunciado: Calcular \( \frac{2^{-2} \times 2^4}{2^3 \times 2^{-1}} \).
Paso 1: Simplificar el numerador: \( 2^{-2} \times 2^4 = 2^{4-2}=2^2=4 \).
Paso 2: Simplificar el denominador: \( 2^3 \times 2^{-1} = 2^{3-1}=2^2=4 \).
Paso 3: Dividir: \( \frac{4}{4} = 1 \).
Resultado: 1.
Ejercicio 24: Potencias de base fraccionaria con exponente decimal
Enunciado: Calcular \( \left(\frac{1}{4}\right)^{1.5} \).
Paso 1: Convertir el exponente decimal a fracción: \( 1.5 = \frac{3}{2} \), de modo que el ejercicio es \( \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}} \).
Paso 2: Escribir como raíz: \( \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{\frac{1}{4}}\right)^3 \).
Paso 3: Como \( \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \), se tiene \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \).
Resultado: \( \frac{1}{8} \).
Ejercicio 25: Operación avanzada con radicales y fracciones
Enunciado: Calcular \( \left(\sqrt{5} – \sqrt{20}\right) \times \frac{1}{\sqrt{5}} \).
Paso 1: Simplificar \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \). Luego, \( \sqrt{5} – 2\sqrt{5} = -\sqrt{5} \).
Paso 2: Multiplicar: \( -\sqrt{5} \times \frac{1}{\sqrt{5}} = -1 \).
Resultado: -1.