Determinantes: qué son, cómo se calculan y aplicaciones

1. CONCEPTO DE DETERMINANTE

1.1 Definición

El determinante es un número escalar asociado a toda matriz cuadrada. Su valor nos indica:

Si la matriz es invertible (determinante ≠ 0).
Si la transformación lineal asociada conserva (positivo) o invierte (negativo) la orientación del espacio.
El factor de escala del área (en 2D) o del volumen (en 3D).

Ejercicios de Concepto

Ejercicio 1: Explica en tus propias palabras la importancia de que el determinante sea distinto de cero para que una matriz sea invertible.
Solución sugerida: Si el determinante es cero, la matriz no tiene inversa, lo que implica que la transformación lineal asociada “aplana” el espacio (por ejemplo, reduce el área o el volumen a cero), impidiendo recuperar la información original.

Ejercicio 2: Relaciona el valor absoluto del determinante de una matriz 2×2 con el área del paralelogramo formado por sus columnas.
Solución sugerida: El valor absoluto del determinante de una matriz 2×2 coincide con el área del paralelogramo generado por los vectores columna:

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \text{Área} = \bigl| ad – bc \bigr|. $$

1.2 Determinantes de orden 2 y 3. Regla de Sarrus

1.2.1 Matriz 2×2

Para una matriz 2×2:

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \det(A) = ad – bc. $$

Por ejemplo, si

$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 3 \cdot 5 – 4 \cdot 2 = 7. $$

Ejercicios Matriz 2×2

Ejercicio 3: Calcula el determinante de $$ \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}. $$

$$ \det = 6 \cdot 1 \;-\; 2 \cdot 3 = 6 – 6 = 0. $$

Ejercicio 4: Encuentra el valor de $ x $ para el que la matriz $$ \begin{pmatrix} x & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} $$ sea no invertible.

$$ \det = x \cdot 2 \;-\; 4 \cdot 5 = 2x – 20 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 20 \quad \Longrightarrow \quad x = 10. $$

1.2.2 Matriz 3×3. Regla de Sarrus

Para una matriz 3×3, la regla de Sarrus se basa en repetir las dos primeras columnas y sumar y restar los productos diagonales.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}. $$

Su determinante, aplicando Sarrus, se expresa como:

$$ \begin{aligned} \det(A) &= 1 \cdot (4 \cdot 6) + 2 \cdot (5 \cdot 1) + 3 \cdot (0 \cdot 1) \\ &\quad – \Bigl[3 \cdot (4 \cdot 1) + 2 \cdot (0 \cdot 6) + 1 \cdot (5 \cdot 1)\Bigr] \\ &= (1 \cdot 24) + (2 \cdot 5) + (3 \cdot 0) – \bigl[3 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 5\bigr] \\ &= 24 + 10 + 0 – (12 + 0 + 5) \\ &= 34 – 17 \;=\; 17. \end{aligned} $$

Ejercicios Matriz 3×3

Ejercicio 5: Calcula el determinante de $$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \\ -2 & 5 & 3 \end{pmatrix}. $$

$$ \begin{aligned} \det &= 2\bigl(0 \cdot 3 – (-1)\cdot 5\bigr) \;-\; 3\bigl(4 \cdot 3 – (-1)\cdot(-2)\bigr) \;+\; 1\bigl(4 \cdot 5 – 0 \cdot (-2)\bigr) \\ &= 2(0+5) \;-\; 3(12 – 2) \;+\; 1(20) \\ &= 10 \;-\; 3(10) \;+\; 20 \\ &= 10 – 30 + 20 \\ &= 0. \end{aligned} $$

Ejercicio 6: Verifica la regla de Sarrus para la matriz $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}. $$

$$ \begin{aligned} \det &= 1\bigl(3\cdot 0 – 1\cdot (-2)\bigr) \;-\; 0\bigl((-1)\cdot0 – 1\cdot2\bigr) \;+\; 2\bigl((-1)\cdot(-2) – 3\cdot2\bigr) \\ &= 1(0 + 2) \;-\; 0(\cdots) \;+\; 2(2 – 6) \\ &= 2 \;+\; 2(-4) \\ &= 2 – 8 \\ &= -6. \end{aligned} $$

2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Los determinantes poseen propiedades que facilitan su cálculo:

Linealidad: Multiplicar una fila por un escalar $ k $ multiplica el determinante por $ k $. Agregar a una fila un múltiplo de otra no lo altera.
Intercambio: Intercambiar dos filas o columnas invierte el signo del determinante.
Dependencia lineal: Si dos filas o columnas son iguales o proporcionales, el determinante es 0.
Multiplicatividad: Para matrices cuadradas $ A $ y $ B $, $ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) $.
Determinante de la identidad: $ \det(I) = 1. $

Ejercicios de Propiedades

Ejercicio 7: Demuestra que al intercambiar dos filas de la matriz $$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} $$ el determinante cambia de signo.

$$ \begin{aligned} \det(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}) &= 2 \cdot 5 – 3 \cdot 4 = 10 – 12 = -2, \\ \det(\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}) &= 4 \cdot 3 – 5 \cdot 2 = 12 – 10 = 2. \end{aligned} $$

Ejercicio 8: Verifica la propiedad multiplicativa para: $$ \det \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \right). $$

$$ \begin{aligned} \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} &= 1\cdot4 – 2\cdot3 = 4 – 6 = -2, \\ \det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} &= 2\cdot3 – 0\cdot1 = 6, \\ \text{producto} &= (-2)\cdot6 = -12. \end{aligned} $$ Multiplicando las matrices: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\ 3\cdot2 + 4\cdot1 & 3\cdot0 + 4\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}. $$ Y $$ \det\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} = 4\cdot12 – 6\cdot10 = 48 – 60 = -12. $$

3. CÁLCULO DE DETERMINANTES POR EXPANSIÓN Y OTROS MÉTODOS

3.1 Expansión por Cofactores (Desarrollo de Laplace)

Se elige una fila (o columna) y se expresa el determinante como la suma de los productos de cada elemento por su cofactor:

$$ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} \; a_{ij} \; (-1)^{i+j} \; \det(M_{ij}). $$

Ejemplo 9: Expansión por Cofactores

Sea la matriz $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}. $$ Expande por la primera fila:

$$ \begin{aligned} \det(B) &= 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \;-\; 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} \;+\; 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\[6pt] \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} &= 4\cdot6 – 5\cdot0 = 24, \\ \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} &= 0\cdot6 – 5\cdot1 = -5, \\ \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= 0\cdot0 – 4\cdot1 = -4. \\[6pt] \therefore\; \det(B) &= 1(24) \;-\; 2(-5) \;+\; 3(-4) = 24 + 10 – 12 = 22. \end{aligned} $$

Ejercicios de Expansión por Cofactores

Ejercicio 10: Expande por la segunda columna la matriz $$ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} $$ y calcula su determinante.

Solución (resumen):
Se toman los elementos $a_{12}=1$, $a_{22}=4$ y $a_{32}=5$, con sus respectivos signos y submatrices. Al final se obtiene $\det=5$.

Ejercicio 11: Expande por la tercera fila la matriz $$ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$ y verifica el valor obtenido.

Solución (resumen):
Tras el desarrollo en la tercera fila, se obtiene $\det=-18$.

3.2 Eliminación de Gauss (Reducción por Filas)

Este método transforma la matriz a forma triangular mediante operaciones elementales; el determinante es el producto de la diagonal ajustando los signos por intercambios de filas y los factores de escalado.

Ejemplo 12: Matriz 3×3

Sea $$ C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}. $$ Se realizan operaciones elementales para anular los elementos bajo la diagonal principal, obteniendo la forma triangular:

$$ C’ = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. $$
$$ \det(C) = 2 \cdot (-5) \cdot 4 = -40. $$

Ejercicios de Eliminación de Gauss

Ejercicio 13: Usa eliminación de Gauss para calcular el determinante de $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}. $$

Solución (resumen):
Tras las operaciones elementales (y un intercambio de filas que cambia el signo), se llega a un determinante de $-30$.

Ejercicio 14: Aplica reducción por filas a la matriz $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$ y determina su determinante.

Solución (resumen):
Tras obtener la forma triangular, se obtiene un producto diagonal de $-61$.

4. APLICACIONES Y CONCLUSIÓN

Los determinantes se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones (regla de Cramer), para calcular áreas y volúmenes, y en numerosas aplicaciones de la ingeniería y la física. Su estudio y práctica constante resultan esenciales para un dominio sólido del álgebra lineal.

Ejercicios de Aplicación

Ejercicio 15: Usa la regla de Cramer para resolver el sistema:
$ 2x + 3y = 5 $, $ 4x – y = 7 $.

$$ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 2(-1) – 3\cdot4 = -2 -12 = -14, \\ D_x &= \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} = 5(-1) – 3\cdot7 = -5 -21 = -26 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{-26}{-14} = \frac{13}{7}, \\ D_y &= \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} = 2\cdot7 – 5\cdot4 = 14 -20 = -6 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{-6}{-14} = \frac{3}{7}. \end{aligned} $$

Ejercicio 16: Dados los vectores $ \vec{u}=(1,2) $ y $ \vec{v}=(3,4) $, utiliza el determinante de la matriz formada por ellos para calcular el área del paralelogramo que generan.

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \det(M) = 1\cdot4 – 3\cdot2 = 4 – 6 = -2, \quad \text{Área} = |{-2}| = 2. $$