¿Te has preguntado alguna vez cómo resolver ecuaciones exponenciales cuando el exponente es la incógnita? La ecuación \(6^x=60\) es un ejemplo perfecto para explorar el uso de logaritmos y propiedades exponenciales. A continuación, veremos paso a paso cómo llegar a la solución de x de forma clara y detallada, incluyendo su valor numérico aproximado.

Paso 1: Aplicar logaritmos a ambos lados

Para extraer la incógnita del exponente, aplicamos el logaritmo (en este caso, el logaritmo natural) a ambos lados de la ecuación:

\(\ln(6^x)=\ln(60)\)

Recordamos que el logaritmo transforma la potencia en multiplicación gracias a la propiedad: \(\ln(a^b)=b\ln(a)\).

Paso 2: Usar la propiedad de los logaritmos

Aplicamos la propiedad mencionada:

\(\ln(6^x)=x\ln(6)\)

Por lo tanto, la ecuación se transforma en:

\(x\ln(6)=\ln(60)\)

Paso 3: Despejar x

Para despejar x, dividimos ambos lados de la ecuación por \(\ln(6)\):

\(x=\frac{\ln(60)}{\ln(6)}\)

Paso 4: Expresar la solución de forma alternativa

Observamos que \(60=6\times10\) y, usando la propiedad de los logaritmos:

\(\ln(60)=\ln(6\cdot10)=\ln(6)+\ln(10)\)

Entonces, la solución se puede escribir como:

\(x=\frac{\ln(6)+\ln(10)}{\ln(6)}=1+\frac{\ln(10)}{\ln(6)}\)

Solución Final

La solución exacta de la ecuación \(6^x=60\) es:

\(\boxed{x=\frac{\ln(60)}{\ln(6)} \quad \text{o} \quad x=1+\frac{\ln(10)}{\ln(6)}}\)

Calculando el valor numérico:

\(\ln(60) \approx 4.0943\) y \(\ln(6) \approx 1.7918\)

Entonces, \(x \approx \frac{4.0943}{1.7918} \approx 2.286\)

* La solución aproximada es \(x \approx 2.286\) (redondeada a tres decimales).