Ejercicio: Demostrar que \(\displaystyle \sec(x) = \sin(x)\,\bigl(\tan(x) + \cot(x)\bigr).\)
En esta igualdad, combinamos las definiciones de las funciones \(\sec(x), \tan(x)\) y \(\cot(x)\) para mostrar que la parte derecha se reduce a la secante de \(x\).
\( \sec(x) = \sin(x)\bigl(\tan(x) + \cot(x)\bigr) \)
Paso 1: Expresar tan(x) y cot(x) en función de seno y coseno
Recordemos que \(\displaystyle \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) y \(\displaystyle \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}.\) Por tanto, la suma \(\tan(x) + \cot(x)\) se escribe como: \[ \tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}. \]
Paso 2: Multiplicar por sin(x)
La parte derecha de la igualdad es: \[ \sin(x)\,\bigl(\tan(x) + \cot(x)\bigr) = \sin(x)\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right). \] Distribuyendo \(\sin(x)\): \[ = \sin(x)\cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \sin(x)\cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}. \] Simplificamos cada término: \[ = \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} + \frac{\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} + \cos(x). \]
Paso 3: Unificar en un denominador común
Observamos que \(\cos(x)\) es lo mismo que \(\frac{\cos^2(x)}{\cos(x)}\). Entonces, \[ \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} + \cos(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\cos(x)}. \] De la identidad fundamental \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\), se obtiene: \[ \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\cos(x)} = \frac{1}{\cos(x)}. \]
Paso 4: Reconocer la función secante
Puesto que \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), llegamos a: \[ \sin(x)\,\bigl(\tan(x) + \cot(x)\bigr) = \