El cálculo diferencial es una herramienta esencial para la modelización y análisis de fenómenos físicos e ingenieriles. Aquí te muestro unos cuantos ejemplos de cómo las técnicas de diferenciación permiten describir y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos, optimizar procesos y resolver problemas complejos en ámbitos como la mecánica, la electromagnetismo y la termodinámica.
Ejercicio 1: Dada la función de posición de una partícula \( s(t)= 4t^3 – 3t^2 + 2 \), determinar la función de velocidad y aceleración, y calcular sus valores en \( t=2 \) s.
\( s(t)= 4t^3 – 3t^2 + 2 \)
Paso 1: Determinar la velocidad \( v(t) \)
La velocidad es la derivada de la posición: \[ v(t)= \frac{ds}{dt}= \frac{d}{dt}\left(4t^3 – 3t^2 + 2\right)= 12t^2 – 6t. \]
Paso 2: Calcular \( v(2) \)
\( v(2)= 12(2)^2 – 6(2)= 12(4)-12= 48-12= 36 \, \text{m/s} \)
Paso 3: Determinar la aceleración \( a(t) \)
La aceleración es la derivada de la velocidad: \[ a(t)= \frac{dv}{dt}= \frac{d}{dt}\left(12t^2 – 6t\right)= 24t – 6. \]
Paso 4: Calcular \( a(2) \)
\( a(2)= 24(2)-6= 48-6= 42 \, \text{m/s}^2 \)
Resultado Final
\(\boxed{ v(2)=36 \, \text{m/s},\quad a(2)=42 \, \text{m/s}^2 }\)
Ejercicio 2: En el tiro parabólico, el alcance horizontal se expresa como \( R(\theta)= \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} \). Demostrar que el alcance es máximo para \( \theta=\frac{\pi}{4} \) (suponiendo \( v_0 \) y \( g \) constantes).
\( R(\theta)= \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} \)
Paso 1: Derivar \( R(\theta) \) respecto a \( \theta \)
Derivamos: \[ \frac{dR}{d\theta} = \frac{v_0^2}{g} \cdot 2\cos(2\theta)= \frac{2v_0^2\cos(2\theta)}{g}. \]
Paso 2: Encontrar el máximo
Igualamos la derivada a cero: \[ \frac{2v_0^2\cos(2\theta)}{g}=0 \quad \Longrightarrow \quad \cos(2\theta)=0. \] Esto implica: \[ 2\theta=\frac{\pi}{2} \quad \Longrightarrow \quad \theta=\frac{\pi}{4}. \]
Resultado Final
\(\boxed{ \theta=\frac{\pi}{4} \, \text{(45°)} }\)
Ejercicio 3: Un círculo se expande de manera que su radio aumenta a una tasa constante de \( \frac{dr}{dt}=0.5 \, \text{m/s} \). Calcular la tasa de cambio del área cuando el radio es \( r=5 \) m.
\( A= \pi r^2 \)
Paso 1: Derivar \( A \) respecto a \( r \)
\( \frac{dA}{dr}= 2\pi r \)
Paso 2: Usar la regla de la cadena para encontrar \( \frac{dA}{dt} \)
\( \frac{dA}{dt}= \frac{dA}{dr}\frac{dr}{dt}= 2\pi r \cdot 0.5 = \pi r \)
Paso 3: Evaluar en \( r=5 \) m
\( \frac{dA}{dt}= \pi \times 5= 5\pi \, \text{m}^2/\text{s} \)
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dA}{dt}= 5\pi \, \text{m}^2/\text{s} }\)
Ejercicio 4: Un objeto se enfría según la ley de Newton, con la temperatura dada por \( T(t)= T_a+(T_0-T_a)e^{-kt} \). Si \( T_0=100^\circ\text{C} \), \( T_a=20^\circ\text{C} \) y \( k=0.1 \, \text{s}^{-1} \), hallar la tasa de cambio de la temperatura \( \frac{dT}{dt} \) en \( t=10 \) s.
\( T(t)= 20 + 80e^{-0.1t} \)
Paso 1: Derivar \( T(t) \) respecto a \( t \)
\[ \frac{dT}{dt}= 80 \cdot (-0.1)e^{-0.1t} = -8e^{-0.1t}. \]
Paso 2: Evaluar en \( t=10 \) s
\( \frac{dT}{dt}\Big|_{t=10}= -8e^{-1} \approx -8\left(0.3679\right)\approx -2.943 \,^\circ\text{C/s} \)
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dT}{dt}\Big|_{t=10} \approx -2.94 \,^\circ\text{C/s} }\)
Ejercicio 5: Un objeto de masa \( m=2 \, \text{kg} \) se mueve con velocidad \( v(t)= 3t^2 \). Calcular la tasa de cambio de la energía cinética \( K \) en \( t=1 \) s.
\( K(t)= \frac{1}{2} m v(t)^2 \)
Paso 1: Escribir la función de energía cinética
Con \( v(t)= 3t^2 \): \[ K(t)= \frac{1}{2}\cdot2\cdot (3t^2)^2 = (3t^2)^2 = 9t^4. \]
Paso 2: Derivar \( K(t) \) respecto a \( t \)
\[ \frac{dK}{dt}= \frac{d}{dt}(9t^4)= 36t^3. \]
Paso 3: Evaluar en \( t=1 \) s
\( \frac{dK}{dt}\Big|_{t=1}= 36(1)^3= 36 \, \text{W} \)
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dK}{dt}\Big|_{t=1}= 36 \, \text{W} }\)
Ejercicio 6: Una persona de 1.7 m de altura camina alejándose de un poste de 5 m a una velocidad de 1.2 m/s. Usando la relación de triángulos semejantes, determine la velocidad a la que aumenta la longitud de su sombra.
Relación: \( \frac{5}{x+y}=\frac{1.7}{y} \)
Paso 1: Establecer la relación geométrica
Sea \( x \) la distancia de la persona al poste y \( y \) la longitud de la sombra. Por semejanza de triángulos: \[ \frac{5}{x+y} = \frac{1.7}{y}. \] Despejando: \[ 5y = 1.7(x+y) \quad\Longrightarrow\quad 5y = 1.7x + 1.7y, \] \[ 5y – 1.7y = 1.7x \quad\Longrightarrow\quad 3.3y = 1.7x, \] \[ y = \frac{1.7}{3.3}\,x \approx 0.5152\,x. \]
Paso 2: Diferenciar con respecto al tiempo
Diferenciamos ambos lados respecto a \( t \): \[ \frac{dy}{dt} = 0.5152\,\frac{dx}{dt}. \] Dado que \( \frac{dx}{dt}= 1.2 \, \text{m/s} \), se tiene: \[ \frac{dy}{dt} \approx 0.5152 \times 1.2 \approx 0.6182 \, \text{m/s}. \]
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dy}{dt} \approx 0.62 \, \text{m/s} }\)
Ejercicio 7: Dado el potencial gravitatorio \( U(r)= -\frac{GMm}{r} \), encuentre la tasa de cambio de \( U \) respecto a \( r \) (es decir, \( \frac{dU}{dr} \)).
\( U(r)= -\frac{GMm}{r} \)
Paso 1: Diferenciar \( U(r) \) respecto a \( r \)
Utilizando la regla de la potencia: \[ \frac{dU}{dr}= -GMm \cdot \frac{d}{dr}\left(r^{-1}\right) = -GMm\left(-r^{-2}\right)= \frac{GMm}{r^2}. \]
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dU}{dr} = \frac{GMm}{r^2} }\)
Ejercicio 8: El modelo barométrico para la presión atmosférica es \( P(h)=P_0e^{-kh} \), donde \( P_0=101325 \, \text{Pa} \) y \( k=0.00012 \, \text{m}^{-1} \). Calcular \( \frac{dP}{dh} \) y evaluarlo en \( h=1000 \) m.
\( P(h)=101325\,e^{-0.00012h} \)
Paso 1: Diferenciar \( P(h) \) respecto a \( h \)
Aplicamos la regla de la cadena: \[ \frac{dP}{dh} = 101325 \cdot \left(-0.00012\right)e^{-0.00012h} = -0.00012 \,P(h). \]
Paso 2: Evaluar en \( h=1000 \) m
Primero, calcule \( P(1000)=101325\,e^{-0.12} \). Como \( e^{-0.12}\approx 0.8869 \), se tiene: \[ P(1000)\approx101325\times0.8869\approx 89835 \, \text{Pa}. \] Luego, \[ \frac{dP}{dh}\Big|_{h=1000}\approx -0.00012\times89835\approx -10.78 \, \text{Pa/m}. \]
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dP}{dh}\Big|_{h=1000} \approx -10.78 \, \text{Pa/m} }\)
Ejercicio 9: El período de un péndulo simple viene dado por \( T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \). Determine la tasa de cambio de \( T \) respecto a \( L \) (es decir, \( \frac{dT}{dL} \)) y evalúe el resultado para \( L=2 \) m, considerando \( g=9.8 \, \text{m/s}^2 \).
\( T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \)
Paso 1: Derivar \( T \) respecto a \( L \)
Escribimos \( T \) como: \[ T=2\pi \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{g}}. \] Luego, \[ \frac{dT}{dL} = 2\pi\frac{1}{\sqrt{g}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{L}} = \frac{\pi}{\sqrt{gL}}. \]
Paso 2: Evaluar en \( L=2 \) m
Sustituyendo \( g=9.8 \) y \( L=2 \): \[ \frac{dT}{dL} = \frac{\pi}{\sqrt{9.8\times2}} = \frac{\pi}{\sqrt{19.6}} \approx \frac{\pi}{4.427} \approx 0.71 \, \text{s/m}. \]
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dT}{dL}\Big|_{L=2} \approx 0.71 \, \text{s/m} }\)
Ejercicio 10: La intensidad de la luz se modela como \( I=\frac{k}{r^2} \), donde \( k \) es una constante. Determine la tasa de cambio de \( I \) respecto a \( r \) y evalúe \( \frac{dI}{dr} \) para \( k=1000 \) y \( r=5 \) m.
\( I=\frac{k}{r^2} \)
Paso 1: Diferenciar \( I \) respecto a \( r \)
Utilizando la regla de la potencia: \[ I=\ k\,r^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dI}{dr}= -2k\,r^{-3} = -\frac{2k}{r^3}. \]
Paso 2: Evaluar en \( r=5 \) m
Con \( k=1000 \): \[ \frac{dI}{dr}= -\frac{2\times1000}{5^3}= -\frac{2000}{125} = -16. \]
Resultado Final
\(\boxed{ \frac{dI}{dr}\Big|_{r=5} = -16 }\)