¿Sabías que, a veces, basta con reagrupar factores para resolver ecuaciones exponenciales? En esta ocasión, tenemos \(\tfrac{1}{(\sqrt{3}-1)^x} = \tfrac{(\sqrt{3}+1)^x}{8}\), donde el exponente x afecta a distintas partes de cada fracción. Verás cómo con unos pasos de manipulación obtenemos una solución muy sencilla.
\(\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{3}-1)^x} = \frac{(\sqrt{3}+1)^x}{8}\)
Paso 1: Multiplicar ambos lados por \((\sqrt{3}-1)^x\)
Para deshacernos del denominador en el primer miembro, multiplicamos ambos lados de la ecuación por \((\sqrt{3}-1)^x\):
\[ \frac{1}{(\sqrt{3}-1)^x} \times (\sqrt{3}-1)^x \;=\; \frac{(\sqrt{3}+1)^x}{8} \times (\sqrt{3}-1)^x. \]
Simplificando el lado izquierdo, queda:
\[ 1 = \frac{(\sqrt{3}+1)^x}{8} \times (\sqrt{3}-1)^x. \]
Paso 2: Reescribir como un solo producto
En el lado derecho, notamos que podemos agrupar las potencias:
\[ \frac{(\sqrt{3}+1)^x}{8} \times (\sqrt{3}-1)^x = \frac{(\sqrt{3}+1)^x \,(\sqrt{3}-1)^x}{8}. \]
Entonces la ecuación queda:
\[ 1 = \frac{\bigl((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\bigr)^x}{8}. \]
Paso 3: Calcular \((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\)
Sabemos que \((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3 – 1 = 2\). Por tanto:
\[ \frac{\bigl((\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\bigr)^x}{8} = \frac{(2)^x}{8}. \]
Ahora la ecuación es:
\[ 1 = \frac{2^x}{8}. \]
Paso 4: Despejar x
Para que \(\tfrac{2^x}{8} = 1\), multiplicamos ambos lados por 8:
\[ 2^x = 8. \]
Dado que \(8 = 2^3\), igualamos exponentes:
\[ 2^x = 2^3 \quad\Longrightarrow\quad x = 3. \]
Solución Final
La ecuación \(\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{3}-1)^x} = \frac{(\sqrt{3}+1)^x}{8}\) tiene la solución:
\[ \boxed{x = 3}. \]
* Para comprobarlo, basta sustituir \(x=3\) en la ecuación original y verificar que ambas partes coinciden.