Consideremos la lámina triangular definida por los vértices \((0,0)\), \((1,0)\) y \((0,1)\). La densidad de la lámina en cualquier punto \((x,y)\) se expresa como: \[ \sigma(x,y) = x + y \quad [\text{kg/m}^2]. \]
1. Definición de la Región de Integración
La región triangular puede describirse en el plano \(xy\) por: \[ R = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\, 0 \le y \le 1 – x\}. \] Este triángulo se forma porque la recta que une \((1,0)\) y \((0,1)\) es \(y = 1 – x\).
2. Planteamiento de la Integral para la Masa
La masa total \(M\) de la lámina se obtiene mediante la integral doble de la densidad sobre la región \(R\): \[ M = \iint_{R} \sigma(x,y)\, dA = \iint_{R} (x + y)\, dA. \] Dado que la región se describe con \(0 \le x \le 1\) y \(0 \le y \le 1 – x\), podemos establecer la siguiente integral iterada en el orden \(dy\,dx\): \[ M = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{\,1-x} (x + y)\,dy\,dx. \]
3. Cálculo Paso a Paso de la Integral
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Integral respecto a \(y\):
Mantenemos \(x\) como constante y resolvemos \[ \int_{y=0}^{1-x} (x + y)\, dy. \] Separamos la integral: \[ \int_{0}^{1-x} x\,dy \;+\; \int_{0}^{1-x} y\, dy. \]
- \(\displaystyle \int_{0}^{1-x} x\, dy = x \int_{0}^{1-x} 1 \, dy = x \bigl[y\bigr]_{0}^{1-x} = x(1-x). \)
- \(\displaystyle \int_{0}^{1-x} y \, dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1-x} = \frac{(1-x)^2}{2}. \)
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Simplificación de la expresión:
Desarrollamos paso a paso: \[ x(1-x) = x – x^2, \] \[ (1-x)^2 = 1 – 2x + x^2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{1}{2} – x + \frac{x^2}{2}. \] Sumando ambas partes: \[ x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2} = \bigl(x – x^2\bigr) + \Bigl(\tfrac{1}{2} – x + \tfrac{x^2}{2}\Bigr) = \frac{1}{2} – \frac{x^2}{2}. \]
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Integral respecto a \(x\):
Ahora integramos la expresión obtenida con respecto a \(x\), de \(0\) a \(1\): \[ M = \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{2} – \frac{x^2}{2}\right) dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \bigl(1 – x^2\bigr)\, dx. \] Calculamos esta integral: \[ \int_{0}^{1} \bigl(1 – x^2\bigr)\, dx = \left[x – \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1 – \frac{1}{3}\right) – 0 = \frac{2}{3}. \] Por lo tanto, \[ M = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}. \]
4. Conclusión
La masa total de la lámina triangular, cuya densidad está dada por \(\sigma(x,y)=x+y\), resulta ser: \[ \boxed{ M = \frac{1}{3} \,\text{kg} }. \]