(En la parte inferior de la página tienes el PDF con todos los 50 ejercicios de derivación detalladamente resueltos. También la clase en formato vídeo)
50 derivadas resueltas desde cero
En esta página tienes una colección completa de 50 derivadas resueltas paso a paso. La idea es empezar con derivadas muy sencillas y avanzar poco a poco hacia reglas más importantes: producto, cociente, cadena, trigonométricas, logaritmos, derivación implícita, derivación logarítmica, funciones paramétricas y definición de derivada.
El objetivo no es memorizar sin entender, sino aprender a reconocer qué regla aparece en cada ejercicio y por qué se aplica. Estudia la página por bloques y vuelve a los ejercicios básicos siempre que lo necesites.
Índice rápido
Fórmulas esenciales
\[
\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}
\]
\[
(uv)’=u’v+uv’
\]
\[
\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}
\]
\[
(f(g(x)))’=f'(g(x))g'(x)
\]
Bloque A · Potencias, polinomios, raíces y simplificación
Ejercicio 1. Derivada de un monomio
\[ f(x)=5x^4 \]Solución
\[
f'(x)=5\cdot 4x^{4-1}=20x^3
\]
\[
\boxed{f'(x)=20x^3}
\]
Ejercicio 2. Derivada de un polinomio
\[ f(x)=4x^5-3x^3+2x-7 \]Solución
\[
f'(x)=20x^4-9x^2+2
\]
\[
\boxed{f'(x)=20x^4-9x^2+2}
\]
Ejercicio 3. Otro polinomio
\[ f(x)=6x^6-x^4+8x^2-5x+12 \]Solución
\[
f'(x)=36x^5-4x^3+16x-5
\]
\[
\boxed{f'(x)=36x^5-4x^3+16x-5}
\]
Ejercicio 4. Exponentes negativos
\[ f(x)=3x^{-2}-4x^{-1}+7x \]Solución
\[
f'(x)=-6x^{-3}+4x^{-2}+7
\]
\[
f'(x)=-\frac{6}{x^3}+\frac{4}{x^2}+7
\]
\[
\boxed{f'(x)=-\frac{6}{x^3}+\frac{4}{x^2}+7}
\]
Ejercicio 5. Fracciones como potencias negativas
\[ f(x)=\frac{5}{x^3}-\frac{2}{x}+4 \]Solución
\[
f(x)=5x^{-3}-2x^{-1}+4
\]
\[
f'(x)=-15x^{-4}+2x^{-2}
\]
\[
\boxed{f'(x)=-\frac{15}{x^4}+\frac{2}{x^2}}
\]
Ejercicio 6. Derivada de la raíz cuadrada
\[ f(x)=\sqrt{x} \]Solución
\[
\sqrt{x}=x^{1/2}
\]
\[
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}
\]
\[
\boxed{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}
\]
Ejercicio 7. Derivada de la raíz cúbica
\[ f(x)=\sqrt[3]{x} \]Solución
\[
\sqrt[3]{x}=x^{1/3}
\]
\[
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}
\]
\[
\boxed{f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}
\]
Ejercicio 8. Simplificar antes de derivar
\[ f(x)=\frac{x^5+2x^3-x}{x^2} \]Solución
\[
f(x)=x^3+2x-\frac{1}{x}
\]
\[
f'(x)=3x^2+2+\frac{1}{x^2}
\]
\[
\boxed{f'(x)=3x^2+2+\frac{1}{x^2}}
\]
Bloque B · Regla del producto
\[ (uv)’=u’v+uv’ \]Ejercicio 9. Producto de dos polinomios
\[ f(x)=(x^2+1)(x^3-1) \]
\[
f'(x)=2x(x^3-1)+(x^2+1)3x^2
\]
\[
f'(x)=5x^4+3x^2-2x
\]
\[
\boxed{f'(x)=5x^4+3x^2-2x}
\]
Ejercicio 10. Producto con raíz cuadrada
\[ f(x)=(x^2+1)\sqrt{x} \]
\[
f'(x)=2x\sqrt{x}+(x^2+1)\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
\[
\boxed{f'(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}}}
\]
Ejercicio 11. Producto con seno
\[ f(x)=(x^2+1)\sin x \]
\[
f'(x)=2x\sin x+(x^2+1)\cos x
\]
\[
\boxed{f'(x)=2x\sin x+(x^2+1)\cos x}
\]
Ejercicio 12. Producto con logaritmo natural
\[ f(x)=(x^2+1)\ln x \]
\[
f'(x)=2x\ln x+(x^2+1)\frac{1}{x}
\]
\[
\boxed{f'(x)=2x\ln x+\frac{x^2+1}{x}}
\]
Bloque C · Regla del cociente
\[ \left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2} \]Ejercicio 13. Cociente de polinomios
\[ f(x)=\frac{3x-1}{x^2+1} \]
\[
f'(x)=\frac{3(x^2+1)-(3x-1)2x}{(x^2+1)^2}
\]
\[
f'(x)=\frac{-3x^2+2x+3}{(x^2+1)^2}
\]
\[
\boxed{f'(x)=\frac{-3x^2+2x+3}{(x^2+1)^2}}
\]
Ejercicio 14. Cociente con coseno y logaritmo
\[ f(x)=\frac{\cos x}{\ln x} \]
\[
f'(x)=\frac{(-\sin x)\ln x-\cos x\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2}
\]
\[
\boxed{f'(x)=\frac{-\sin x\,\ln x-\frac{\cos x}{x}}{(\ln x)^2}}
\]
Ejercicio 15. Derivada de la tangente usando cociente
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \]
\[
(\tan x)’=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}
\]
\[
(\tan x)’=\frac{1}{\cos^2x}
\]
\[
\boxed{(\tan x)’=\sec^2x}
\]
Bloque D · Regla de la cadena
\[ (f(g(x)))’=f'(g(x))g'(x) \]Ejercicio 16. Potencia de un polinomio
\[ f(x)=(3x-5)^7 \]
\[
f'(x)=7(3x-5)^6\cdot3
\]
\[\boxed{f'(x)=21(3x-5)^6}\]
Ejercicio 17. Raíz compuesta
\[ f(x)=\sqrt{2x^2+1} \]
\[
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x^2+1}}\cdot4x
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}}\]
Ejercicio 18. Potencia negativa compuesta
\[ f(x)=\frac{1}{(x^2+4)^3} \]
\[
f(x)=(x^2+4)^{-3}
\]
\[
f'(x)=-3(x^2+4)^{-4}\cdot2x
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{-6x}{(x^2+4)^4}}\]
Ejercicio 19. Seno compuesto
\[ f(x)=\sin(5x) \]
\[
f'(x)=\cos(5x)\cdot5
\]
\[\boxed{f'(x)=5\cos(5x)}\]
Ejercicio 20. Coseno compuesto
\[ f(x)=\cos(x^2) \]
\[
f'(x)=-\sin(x^2)\cdot2x
\]
\[\boxed{f'(x)=-2x\sin(x^2)}\]
Ejercicio 21. Tangente de una raíz
\[ f(x)=\tan(\sqrt{x}) \]
\[
f'(x)=\sec^2(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{\sec^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}}\]
Ejercicio 22. Exponencial compuesta
\[ f(x)=e^{3x^2-1} \]
\[
f'(x)=e^{3x^2-1}\cdot6x
\]
\[\boxed{f'(x)=6xe^{3x^2-1}}\]
Ejercicio 23. Logaritmo compuesto
\[ f(x)=\ln(4x^2+1) \]
\[
f'(x)=\frac{8x}{4x^2+1}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{8x}{4x^2+1}}\]
Ejercicio 24. Potencia de logaritmo
\[ f(x)=(\ln x)^3 \]
\[
f'(x)=3(\ln x)^2\cdot\frac{1}{x}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{3(\ln x)^2}{x}}\]
Ejercicio 25. Función compuesta triple
\[ f(x)=\sqrt{\ln(1+x^2)} \]
\[
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\ln(1+x^2)}}\cdot\frac{2x}{1+x^2}
\]
\[
\boxed{f'(x)=\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{\ln(1+x^2)}}}
\]
Bloque E · Funciones trigonométricas
Ejercicio 26. Combinación trigonométrica
\[ f(x)=3\sin x-2\cos x+5\tan x \]
\[
f'(x)=3\cos x+2\sin x+5\sec^2x
\]
\[\boxed{f'(x)=3\cos x+2\sin x+5\sec^2x}\]
Ejercicio 27. Producto con seno
\[ f(x)=x^2\sin x \]
\[
f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x
\]
\[\boxed{f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x}\]
Ejercicio 28. Potencia trigonométrica
\[ f(x)=\sin^2x \]
\[
f'(x)=2\sin x\cos x
\]
\[\boxed{f'(x)=2\sin x\cos x}\]
Ejercicio 29. Trigonométricas compuestas
\[ f(x)=\cos(3x)-\sin(x^2) \]
\[
f'(x)=-3\sin(3x)-2x\cos(x^2)
\]
\[\boxed{f'(x)=-3\sin(3x)-2x\cos(x^2)}\]
Ejercicio 30. Secante, cosecante y cotangente
\[ f(x)=\sec x+\csc x-\cot x \]
\[
f'(x)=\sec x\tan x-\csc x\cot x+\csc^2x
\]
\[\boxed{f'(x)=\sec x\tan x-\csc x\cot x+\csc^2x}\]
Ejercicio 31. Cociente trigonométrico elegante
\[ f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \]
\[
f'(x)=\frac{\cos x(1+\cos x)+\sin^2x}{(1+\cos x)^2}
\]
\[
f'(x)=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{1}{1+\cos x}}\]
Ejercicio 32. Funciones trigonométricas inversas
\[ f(x)=\arctan x+\arcsin(2x) \]
\[
f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}\]
Bloque F · Exponenciales y logaritmos
Ejercicio 33. Exponencial de base 2
\[ f(x)=2^x \]
\[
f'(x)=2^x\ln2
\]
\[\boxed{f'(x)=2^x\ln2}\]
Ejercicio 34. Exponencial compuesta de base 5
\[ f(x)=5^{x^2} \]
\[
f'(x)=5^{x^2}\ln5\cdot2x
\]
\[\boxed{f'(x)=2x\,5^{x^2}\ln5}\]
Ejercicio 35. Producto con exponencial
\[ f(x)=xe^x \]
\[
f'(x)=e^x+xe^x
\]
\[\boxed{f'(x)=e^x(1+x)}\]
Ejercicio 36. Cociente con logaritmo
\[ f(x)=\frac{\ln x}{x} \]
\[
f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}}\]
Ejercicio 37. Logaritmo de un cociente
\[ f(x)=\ln\left(\frac{x^2+1}{x-1}\right) \]
\[
f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac{1}{x-1}
\]
\[
f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x^2+1)(x-1)}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x^2+1)(x-1)}}\]
Ejercicio 38. Logaritmo de una potencia
\[ f(x)=\ln((3x+1)^5) \]
\[
f(x)=5\ln(3x+1)
\]
\[
f'(x)=5\cdot\frac{3}{3x+1}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{15}{3x+1}}\]
Bloque G · Derivación implícita, logarítmica y paramétrica
Ejercicio 39. Derivación implícita en una circunferencia
\[ x^2+y^2=R^2 \]
\[
2x+2yy’=0
\]
\[\boxed{y’=-\frac{x}{y}}\]
Ejercicio 40. Derivación implícita con producto
\[ y^3+xy=1 \]
\[
3y^2y’+y+xy’=0
\]
\[
(3y^2+x)y’=-y
\]
\[\boxed{y’=-\frac{y}{3y^2+x}}\]
Ejercicio 41. Derivación logarítmica de \(x^x\)
\[ y=x^x \]
\[
\ln y=x\ln x
\]
\[
\frac{y’}{y}=\ln x+1
\]
\[\boxed{y’=x^x(\ln x+1)}\]
Ejercicio 42. Derivación logarítmica de un producto
\[ y=x^2(x+1)^3 \]
\[
\ln y=2\ln x+3\ln(x+1)
\]
\[
\frac{y’}{y}=\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}
\]
\[
\boxed{y’=x^2(x+1)^3\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}\right)}
\]
Ejercicio 43. Derivación logarítmica de una función más complicada
\[ y=\frac{(x^2+1)^5\sqrt{x-2}}{(3x+1)^4} \]
\[
\ln y=5\ln(x^2+1)+\frac{1}{2}\ln(x-2)-4\ln(3x+1)
\]
\[
\frac{y’}{y}=\frac{10x}{x^2+1}+\frac{1}{2(x-2)}-\frac{12}{3x+1}
\]
\[
\boxed{
y’=
\frac{(x^2+1)^5\sqrt{x-2}}{(3x+1)^4}
\left(
\frac{10x}{x^2+1}
+\frac{1}{2(x-2)}
-\frac{12}{3x+1}
\right)}
\]
Ejercicio 44. Funciones paramétricas
\[ x=t^2+1,\qquad y=t^3-t \]
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}
\]
\[
\frac{dy}{dt}=3t^2-1,\qquad \frac{dx}{dt}=2t
\]
\[\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-1}{2t}}\]
Bloque H · Segunda derivada, valor absoluto y definición de derivada
Ejercicio 45. Segunda derivada
\[ f(x)=x^2\sin x \]
\[
f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x
\]
\[
f»(x)=2\sin x+2x\cos x+2x\cos x-x^2\sin x
\]
\[\boxed{f»(x)=2\sin x+4x\cos x-x^2\sin x}\]
Ejercicio 46. Valor absoluto
\[ f(x)=|x| \]
\[
|x|=
\begin{cases}
x, & x>0,\\
-x, & x<0.
\end{cases}
\]
\[
f'(x)=
\begin{cases}
1, & x>0,\\
-1, & x<0.
\end{cases}
\]
En \(x=0\) la derivada no existe, porque la función tiene una esquina.
Ejercicio 47. Derivada de \(x^2\) usando la definición
\[ f(x)=x^2 \]
\[
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}
\]
\[
=\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}
\]
\[
=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x
\]
\[\boxed{f'(x)=2x}\]
Ejercicio 48. Derivada de \(x^3\) usando la definición
\[ f(x)=x^3 \]
\[
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}
\]
\[
=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}
\]
\[
=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+h^2)
\]
\[\boxed{f'(x)=3x^2}\]
Ejercicio 49. Derivada de \(\frac{1}{x}\) usando la definición
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
\[
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}
\]
\[
=\lim_{h\to0}\frac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\]
\[
=\lim_{h\to0}\frac{-h}{x(x+h)h}
\]
\[
=\lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}
\]
\[\boxed{f'(x)=-\frac{1}{x^2}}\]
Ejercicio 50. Derivada de \(\sqrt{x}\) usando la definición
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
\[
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
\]
\[
=
\lim_{h\to0}
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}
\cdot
\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}
\]
\[
=
\lim_{h\to0}
\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}
\]
\[
=
\lim_{h\to0}
\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}
\]
\[\boxed{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}\]
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