A veces, las ecuaciones exponenciales combinan exponentes lineales y cuadráticos. Aquí tenemos \(\frac{5^{x^2}}{25^x} = 625\), que podemos resolver reescribiendo cada base en términos de 5. Veamos el proceso paso a paso.
\(\displaystyle \frac{5^{x^2}}{25^x} = 625\)
Paso 1: Expresar 25 y 625 en base 5
Observamos que:
- \(25 = 5^2\)
- \(625 = 5^4\)
Así, \(25^x = (5^2)^x = 5^{2x}\) y \(625 = 5^4\).
Paso 2: Sustituir en la ecuación
Al sustituir en la ecuación original:
\[ \frac{5^{x^2}}{5^{2x}} = 5^4. \]
Aplicando la ley de los exponentes en el lado izquierdo (al dividir, se restan los exponentes):
\[ 5^{x^2 – 2x} = 5^4. \]
Paso 3: Igualar los exponentes
Cuando \(5^A = 5^B\), se cumple \(A = B\). Por lo tanto:
\[ x^2 – 2x = 4. \]
Paso 4: Despejar x
Para formar la ecuación cuadrática, pasamos todo al mismo lado:
\[ x^2 – 2x – 4 = 0. \]
Ahora aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:
\(\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\).
En este caso, los coeficientes son \(a = 1\), \(b = -2\) y \(c = -4\).
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}. \]
Solución Final
Las soluciones de la ecuación \(\displaystyle \frac{5^{x^2}}{25^x} = 625\) son:
\[ \boxed{x = 1 + \sqrt{5} \quad \text{o} \quad x = 1 – \sqrt{5}}. \]
* Ambas soluciones son válidas, ya que la expresión \(5^{x^2}\) y \(25^x\) están definidas para todo número real \(x\).