Ejercicio: Demostrar que \(\displaystyle \frac{\cos^2(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} = 1 – \sin(\alpha).\)
En esta igualdad, utilizaremos el método de racionalización para simplificar el denominador, junto con la identidad fundamental \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1.\)
\( \frac{\cos^2(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} = 1 – \sin(\alpha) \)
Paso 1: Multiplicar por la conjugada del denominador
Para simplificar, multiplicamos la fracción por \(\frac{1 – \sin(\alpha)}{1 – \sin(\alpha)}\): \[ \frac{\cos^2(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} \times \frac{1 – \sin(\alpha)}{1 – \sin(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)\,\bigl(1 – \sin(\alpha)\bigr)}{\bigl(1 + \sin(\alpha)\bigr)\bigl(1 – \sin(\alpha)\bigr)}. \]
Paso 2: Simplificar el denominador
Observamos que \((1 + \sin(\alpha))(1 – \sin(\alpha)) = 1 – \sin^2(\alpha)\). Por la identidad fundamental, \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\), se tiene \(1 – \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\). Entonces, el denominador se convierte en \(\cos^2(\alpha)\): \[ \frac{\cos^2(\alpha)\,\bigl(1 – \sin(\alpha)\bigr)}{\cos^2(\alpha)}. \]
Paso 3: Cancelar \(\cos^2(\alpha)\) en numerador y denominador
El factor \(\cos^2(\alpha)\) se anula: \[ = 1 – \sin(\alpha). \]
Resultado Final
\(\boxed{\frac{\cos^2(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)} = 1 – \sin(\alpha)}\)