Colección de ejercicios resueltos de integrales indefinidas en donde te muestro las integrales más básicas e importantes, además de las técnicas que has de conocer.
Ejercicio 1: Integral de una función constante.
\( \int c\,dx \)
Paso 1: Identificar la función
La función es una constante \( c \).
Paso 2: Aplicar la regla de integración
La integral de una constante es el producto de la constante por la variable:
\( \int c\,dx = c\,x + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int c\,dx = c\,x + C }\)
Ejercicio 2: Integral de la función potencia.
\( \int x^n\,dx \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( x^n \) con \( n\neq -1 \).
Paso 2: Aplicar la regla de integración
La integral de \( x^n \) es:
\( \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }\)
Ejercicio 3: Integral de \( x^2 \).
\( \int x^2\,dx \)
Paso 1: Aplicar la regla de la potencia
Usamos la fórmula anterior con \( n=2 \):
\( \int x^2\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C }\)
Ejercicio 4: Integral de la función exponencial.
\( \int e^x\,dx \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( e^x \).
Paso 2: Aplicar la regla de integración
\( \int e^x\,dx = e^x + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int e^x\,dx = e^x + C }\)
Ejercicio 5: Integral de la función seno.
\( \int \sin(x)\,dx \)
Paso 1: Aplicar la integral conocida
\( \int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C }\)
Ejercicio 6: Integral de la función coseno.
\( \int \cos(x)\,dx \)
Paso 1: Aplicar la integral conocida
\( \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C }\)
Ejercicio 7: Integral de la función \( \frac{1}{x} \).
\( \int \frac{1}{x}\,dx \)
Paso 1: Aplicar la integral conocida
\( \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C }\)
Ejercicio 8: Integral de la función \( \sec^2(x) \).
\( \int \sec^2(x)\,dx \)
Paso 1: Aplicar la integral conocida
\( \int \sec^2(x)\,dx = \tan(x) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int \sec^2(x)\,dx = \tan(x) + C }\)
Ejercicio 9: Integral de la función \( \csc^2(x) \).
\( \int \csc^2(x)\,dx \)
Paso 1: Aplicar la integral conocida
\( \int \csc^2(x)\,dx = -\cot(x) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int \csc^2(x)\,dx = -\cot(x) + C }\)
Ejercicio 10: Integral de la función \( \frac{1}{1+x^2} \).
\( \int \frac{1}{1+x^2}\,dx \)
Paso 1: Aplicar la integral conocida
\( \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(x) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(x) + C }\)
Ejercicio 11: Integral de la función \( \tan(x) \).
\( \int \tan(x)\,dx \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \tan(x) \) como \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).
Paso 2: Usar sustitución
Sea \( u=\cos(x) \) con \( du=-\sin(x)\,dx \). Entonces:
\( \int \tan(x)\,dx = -\int \frac{du}{u} \)
Paso 3: Integrar
\( -\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos(x)| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \tan(x)\,dx = -\ln|\cos(x)| + C}\)
Ejercicio 12: Integral de la función \( \sec(x) \).
\( \int \sec(x)\,dx \)
Paso 1: Multiplicar por una forma ingeniosa
Multiplicamos y dividimos por \( \sec(x)+\tan(x) \):
\( \int \sec(x)\,dx = \int \sec(x)\frac{\sec(x)+\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}\,dx \)
Paso 2: Reconocer la derivada
Se puede demostrar que la derivada de \( \sec(x)+\tan(x) \) es \( \sec(x)(\sec(x)+\tan(x)) \), por lo que:
\( \int \sec(x)\,dx = \ln|\sec(x)+\tan(x)| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \sec(x)\,dx = \ln|\sec(x)+\tan(x)| + C}\)
Ejercicio 13: Integral de la función \( e^{2x} \).
\( \int e^{2x}\,dx \)
Paso 1: Realizar una sustitución
Sea \( u=2x \) con \( du=2\,dx \) o \( dx=\frac{du}{2} \).
Paso 2: Integrar
\( \int e^{2x}\,dx = \int e^u\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{e^u}{2} + C \)
Reemplazando \( u \): \( = \frac{e^{2x}}{2} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C}\)
Ejercicio 14: Integral de la función \( \ln(x) \).
\( \int \ln(x)\,dx \)
Paso 1: Usar integración por partes
Sea \( u=\ln(x) \) y \( dv=dx \). Entonces \( du=\frac{1}{x}\,dx \) y \( v=x \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x)-\int 1\,dx \)
\( = x\ln(x)-x + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-x + C}\)
Ejercicio 15: Integral de la función \( x\,e^x \).
\( \int x\,e^x\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=x \) y \( dv=e^x\,dx \). Entonces, \( du=dx \) y \( v=e^x \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int x\,e^x\,dx = x\,e^x – \int e^x\,dx = x\,e^x – e^x + C \)
\( = e^x(x-1) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int x\,e^x\,dx = e^x(x-1) + C}\)
Ejercicio 16: Integral de la función \( \sin^2(x) \).
\( \int \sin^2(x)\,dx \)
Paso 1: Usar la identidad trigonométrica
Utilizamos \( \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2} \).
Paso 2: Integrar
\( \int \sin^2(x)\,dx = \int \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \sin^2(x)\,dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin(2x)}{4} + C}\)
Ejercicio 17: Integral de la función \( \cos^2(x) \).
\( \int \cos^2(x)\,dx \)
Paso 1: Usar la identidad trigonométrica
Utilizamos \( \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \).
Paso 2: Integrar
\( \int \cos^2(x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \cos^2(x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C}\)
Ejercicio 18: Integral de la función \( \frac{1}{x\ln(x)} \).
\( \int \frac{1}{x\ln(x)}\,dx \)
Paso 1: Realizar una sustitución
Sea \( u=\ln(x) \) entonces \( du=\frac{dx}{x} \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{1}{x\ln(x)}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\ln(x)| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{1}{x\ln(x)}\,dx = \ln|\ln(x)| + C}\)
Ejercicio 19: Integral de la función \( \frac{1}{1-x^2} \).
\( \int \frac{1}{1-x^2}\,dx \)
Paso 1: Descomponer en fracciones parciales
Se escribe \( \frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{(1-x)(1+x)} \). Se encuentra:
\( \frac{1}{1-x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right) \)
Paso 2: Integrar término a término
\( \int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\left[\int\frac{1}{1+x}\,dx + \int\frac{1}{1-x}\,dx\right] \)
Recordando que \( \int\frac{1}{1-x}\,dx=-\ln|1-x| \) y \( \int\frac{1}{1+x}\,dx=\ln|1+x| \), se obtiene:
\( =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C}\)
Ejercicio 20: Integral de la función \( \frac{2x}{x^2+1} \).
\( \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx \)
Paso 1: Realizar una sustitución
Sea \( u=x^2+1 \) con \( du=2x\,dx \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u|+C = \ln|x^2+1|+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx = \ln|x^2+1| + C}\)
Ejercicio 21: Integral de la función \( \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)} \).
\( \int \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=\sin(x) \) con \( du=\cos(x)\,dx \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{du}{1+u} = \ln|1+u| + C \)
Reemplazando \( u \): \( \ln|1+\sin(x)| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}\,dx = \ln|1+\sin(x)| + C}\)
Ejercicio 22: Integral de la función \( \frac{2x+3}{x^2+3x+2} \).
\( \int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}\,dx \)
Paso 1: Factorizar el denominador
Observa que \( x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \).
Paso 2: Descomponer en fracciones parciales
Escribimos:
\( \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2} \)
Resolviendo, se obtiene \( A=1 \) y \( B=1 \).
Paso 3: Integrar término a término
\( \int\frac{1}{x+1}\,dx+\int\frac{1}{x+2}\,dx = \ln|x+1|+\ln|x+2|+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}\,dx = \ln|x+1|+\ln|x+2|+C}\)
Ejercicio 23: Integral de la función \( \frac{1}{x^2-4} \).
\( \int \frac{1}{x^2-4}\,dx \)
Paso 1: Factorizar
\( x^2-4=(x-2)(x+2) \).
Paso 2: Fracciones parciales
Se escribe:
\( \frac{1}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2} \)
Resolviendo, \( A=\frac{1}{4} \) y \( B=-\frac{1}{4} \).
Paso 3: Integrar
\( \int \frac{1}{4}\frac{dx}{x-2} – \frac{1}{4}\frac{dx}{x+2} = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{1}{x^2-4}\,dx = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C}\)
Ejercicio 24: Integral de la función \( x\,e^{x^2} \).
\( \int x\,e^{x^2}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=x^2 \) con \( du=2x\,dx \) o \( x\,dx=\frac{du}{2} \).
Paso 2: Integrar
\( \int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{e^u}{2}+C \)
Reemplazando \( u \): \( = \frac{e^{x^2}}{2}+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e^{x^2}}{2}+C}\)
Ejercicio 25: Integral de la función \( e^{3x}\sin(2x) \).
\( \int e^{3x}\sin(2x)\,dx \)
Paso 1: Usar la fórmula estándar
Recordamos que:
\( \int e^{ax}\sin(bx)\,dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin(bx)-b\cos(bx)) + C \)
Aquí, \( a=3 \) y \( b=2 \).
Resultado Final
\(\boxed{\int e^{3x}\sin(2x)\,dx = \frac{e^{3x}(3\sin(2x)-2\cos(2x))}{13} + C}\)
Ejercicio 26: Integral de la función \( \frac{\ln(x)}{x} \).
\( \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=\ln(x) \), de modo que \( du=\frac{dx}{x} \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2} + C \)
\( = \frac{(\ln(x))^2}{2}+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \frac{(\ln(x))^2}{2}+C}\)
Ejercicio 27: Integral de la función \( x^2e^x \).
\( \int x^2e^x\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=x^2 \) y \( dv=e^x\,dx \). Entonces, \( du=2x\,dx \) y \( v=e^x \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int x^2e^x\,dx = x^2e^x-\int 2xe^x\,dx \)
Ahora, para \( \int 2xe^x\,dx \) usamos nuevamente integración por partes:
Sea \( u=2x \) y \( dv=e^x\,dx \) → \( du=2\,dx \), \( v=e^x \). Entonces: \( \int 2xe^x\,dx=2xe^x-2e^x \).
Sustituyendo: \( \int x^2e^x\,dx = x^2e^x-[2xe^x-2e^x]= e^x(x^2-2x+2)+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int x^2e^x\,dx = e^x(x^2-2x+2)+C}\)
Ejercicio 28: Integral de la función \( \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2} \).
\( \int \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2}\,dx \)
Paso 1: Simplificar la función
Factorizamos el denominador: \( x^3+x^2=x^2(x+1) \). Luego:
\( \frac{3x^2+2x}{x^2(x+1)} = \frac{3x+2}{x(x+1)} \)
Paso 2: Fracciones parciales
Escribimos:
\( \frac{3x+2}{x(x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1} \)
Resolviendo: \( A(x+1)+Bx= (A+B)x+A=3x+2 \) → \( A+B=3 \) y \( A=2 \) (por lo que \( B=1 \)).
Paso 3: Integrar
\( \int \frac{2}{x}\,dx+\int \frac{1}{x+1}\,dx = 2\ln|x|+\ln|x+1|+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2}\,dx = 2\ln|x|+\ln|x+1|+C}\)
Ejercicio 29: Integral de la función \( \frac{\sqrt{x}}{1+x} \).
\( \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=\sqrt{x} \) entonces \( x=u^2 \) y \( dx=2u\,du \).
Paso 2: Reescribir la integral
\( \int \frac{u}{1+u^2}\cdot 2u\,du = \int \frac{2u^2}{1+u^2}\,du \)
Paso 3: Simplificar
Escribimos \( \frac{2u^2}{1+u^2}= 2\left(1-\frac{1}{1+u^2}\right) \).
Paso 4: Integrar
\( 2\int du-2\int\frac{du}{1+u^2} = 2u-2\arctan(u)+C \)
Reemplazando \( u=\sqrt{x} \): \( =2\sqrt{x}-2\arctan(\sqrt{x})+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx = 2\sqrt{x}-2\arctan(\sqrt{x})+C}\)
Ejercicio 30: Integral de la función \( \sin^3(x) \).
\( \int \sin^3(x)\,dx \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \sin^3(x)=\sin(x)(1-\cos^2(x)) \).
Paso 2: Sustitución
Sea \( u=\cos(x) \), de modo que \( du=-\sin(x)\,dx \) y \( \sin(x)\,dx=-du \).
Paso 3: Integrar
\( \int \sin^3(x)\,dx = -\int (1-u^2)\,du = -\left(u-\frac{u^3}{3}\right)+C \)
\( = -\cos(x)+\frac{\cos^3(x)}{3}+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \sin^3(x)\,dx = -\cos(x)+\frac{\cos^3(x)}{3}+C}\)
Ejercicio 31: Integral de \( \arctan(x) \).
\( \int \arctan(x)\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=\arctan(x) \) y \( dv=dx \). Entonces, \( du=\frac{1}{1+x^2}\,dx \) y \( v=x \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int \arctan(x)\,dx = x\,\arctan(x) – \int \frac{x}{1+x^2}\,dx \)
Paso 3: Resolver la integral restante
\( \int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln|1+x^2| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \arctan(x)\,dx = x\,\arctan(x) – \frac{1}{2}\ln|1+x^2| + C}\)
Ejercicio 32: Integral de \( x\ln(x) \).
\( \int x\ln(x)\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=\ln(x) \) y \( dv=x\,dx \). Entonces, \( du=\frac{1}{x}\,dx \) y \( v=\frac{x^2}{2} \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int x\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) – \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx \)
\( = \frac{x^2}{2}\ln(x) – \frac{1}{2}\int x\,dx \)
\( = \frac{x^2}{2}\ln(x) – \frac{x^2}{4} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) – \frac{x^2}{4} + C}\)
Ejercicio 33: Integral de \( x\cos(x^2) \).
\( \int x\cos(x^2)\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=x^2 \) con \( du=2x\,dx \), por lo que \( x\,dx=\frac{du}{2} \).
Paso 2: Integrar
\( \int x\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{2}\sin(u)+C \)
\( = \frac{1}{2}\sin(x^2)+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int x\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\sin(x^2) + C}\)
Ejercicio 34: Integral de \( \ln(1+x) \).
\( \int \ln(1+x)\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=\ln(1+x) \) y \( dv=dx \). Luego, \( du=\frac{1}{1+x}\,dx \) y \( v=x \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int \ln(1+x)\,dx = x\ln(1+x) – \int \frac{x}{1+x}\,dx \)
Observa que \( \frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x} \).
\( \int \frac{x}{1+x}\,dx = x – \ln|1+x| \)
Así, \( \int \ln(1+x)\,dx = x\ln(1+x) – \left(x-\ln(1+x)\right)+C \)
\( = (x+1)\ln(1+x)-x + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \ln(1+x)\,dx = (x+1)\ln(1+x)-x + C}\)
Ejercicio 35: Integral de \( \frac{e^x}{1+e^x} \).
\( \int \frac{e^x}{1+e^x}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=1+e^x \) con \( du=e^x\,dx \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u|+C \)
\( = \ln|1+e^x|+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{e^x}{1+e^x}\,dx = \ln|1+e^x| + C}\)
Ejercicio 36: Integral de \( \frac{1}{x(\ln(x))^2} \).
\( \int \frac{1}{x(\ln(x))^2}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=\ln(x) \) con \( du=\frac{1}{x}\,dx \).
Paso 2: Integrar
\( \int u^{-2}\,du = -\frac{1}{u}+C \)
\( = -\frac{1}{\ln(x)}+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{1}{x(\ln(x))^2}\,dx = -\frac{1}{\ln(x)} + C}\)
Ejercicio 37: Integral de \( e^{\sin(x)}\cos(x) \).
\( \int e^{\sin(x)}\cos(x)\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=\sin(x) \) con \( du=\cos(x)\,dx \).
Paso 2: Integrar
\( \int e^{\sin(x)}\cos(x)\,dx = \int e^u\,du = e^u + C \)
\( = e^{\sin(x)}+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int e^{\sin(x)}\cos(x)\,dx = e^{\sin(x)} + C}\)
Ejercicio 38: Integral de \( \frac{2x}{x^2+4} \).
\( \int \frac{2x}{x^2+4}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=x^2+4 \) con \( du=2x\,dx \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{2x}{x^2+4}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C \)
\( = \ln|x^2+4| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{2x}{x^2+4}\,dx = \ln|x^2+4| + C}\)
Ejercicio 39: Integral de \( \cos(2x) \).
\( \int \cos(2x)\,dx \)
Paso 1: Sustitución directa
\( \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C}\)
Ejercicio 40: Integral de \( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \).
\( \int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx \)
Paso 1: Reconocer la forma
Se conoce que \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C \). Aquí, \( a=2 \).
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C}\)
Ejercicio 41: Integral de \( \frac{x}{(x^2+1)^2} \).
\( \int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u = x^2+1 \); luego \( du = 2x\,dx \) o \( x\,dx = \frac{du}{2} \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2} = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{u}\right)+C \)
\( = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(x^2+1)} + C}\)
Ejercicio 42: Integral de \( \cos^3(x) \).
\( \int \cos^3(x)\,dx \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \cos^3(x) = \cos(x)\bigl(1-\sin^2(x)\bigr) \).
Paso 2: Sustitución
Sea \( u = \sin(x) \) con \( du = \cos(x)\,dx \). Entonces:
\( \int \cos^3(x)\,dx = \int (1-u^2)\,du \)
\( = u – \frac{u^3}{3} + C \)
\( = \sin(x) – \frac{\sin^3(x)}{3} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \cos^3(x)\,dx = \sin(x) – \frac{\sin^3(x)}{3} + C}\)
Ejercicio 43: Integral de \( \cot^2(x) \).
\( \int \cot^2(x)\,dx \)
Paso 1: Reescribir la función
Usamos que \( \cot^2(x)=\csc^2(x)-1 \).
Paso 2: Integrar término a término
\( \int \cot^2(x)\,dx = \int \csc^2(x)\,dx – \int 1\,dx \)
\( = -\cot(x) – x + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \cot^2(x)\,dx = -\cot(x)-x + C}\)
Ejercicio 44: Integral de \( \frac{\ln(x)}{x^2} \).
\( \int \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=\ln(x) \) y \( dv=x^{-2}\,dx \). Entonces, \( du=\frac{1}{x}\,dx \) y \( v=-x^{-1} \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x} – \int \left(-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\right)dx \)
\( = -\frac{\ln(x)}{x} + \int \frac{1}{x^2}\,dx \)
\( = -\frac{\ln(x)}{x} – \frac{1}{x} + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{\ln(x)}{x^2}\,dx = -\frac{\ln(x)+1}{x} + C}\)
Ejercicio 45: Integral de \( x^2e^{-x} \).
\( \int x^2e^{-x}\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=x^2 \) y \( dv=e^{-x}\,dx \). Luego, \( du=2x\,dx \) y \( v=-e^{-x} \).
\( \int x^2e^{-x}\,dx = -x^2e^{-x} + 2\int xe^{-x}\,dx \)
Paso 2: Integrar \( \int xe^{-x}\,dx \)
Con \( u=x \) y \( dv=e^{-x}\,dx \) → \( du=dx \) y \( v=-e^{-x} \):
\( \int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx = -xe^{-x}-e^{-x}+C \)
Paso 3: Sustituir y simplificar
\( \int x^2e^{-x}\,dx = -x^2e^{-x} + 2\left[-e^{-x}(x+1)\right] + C \)
\( = -e^{-x}(x^2+2x+2)+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int x^2e^{-x}\,dx = -e^{-x}(x^2+2x+2) + C}\)
Ejercicio 46: Integral de \( \frac{x}{x^2-1} \).
\( \int \frac{x}{x^2-1}\,dx \)
Paso 1: Sustitución
Sea \( u=x^2-1 \) con \( du=2x\,dx \) o \( x\,dx=\frac{du}{2} \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{x}{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u|+C \)
\( = \frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{x}{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x^2-1| + C}\)
Ejercicio 47: Integral de \( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \).
\( \int \frac{e^x+e^{-x}}{2}\,dx \)
Paso 1: Reconocer la función
Esta integral es la definición de la función hiperbólica \( \cosh(x) \).
Paso 2: Integrar
\( \int \frac{e^x+e^{-x}}{2}\,dx = \frac{e^x-e^{-x}}{2}+C \)
\( = \sinh(x) + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{e^x+e^{-x}}{2}\,dx = \sinh(x) + C}\)
Ejercicio 48: Integral de \( \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}} \).
\( \int \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}\,dx \)
Paso 1: Reescribir el integrando
Escribimos \( x^2 = (4+x^2)-4 \).
Paso 2: Separar la integral
\( \int \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}\,dx = \int \frac{4+x^2}{\sqrt{4+x^2}}\,dx – 4\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}} \)
Observa que \( \frac{4+x^2}{\sqrt{4+x^2}} = \sqrt{4+x^2} \).
Paso 3: Utilizar fórmulas conocidas
\( \int \sqrt{4+x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4+x^2}+2\ln|x+\sqrt{4+x^2}|+C \)
\( \int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}} = \ln|x+\sqrt{4+x^2}|+C \)
Paso 4: Combinar resultados
\( \int \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{4+x^2}+2\ln|x+\sqrt{4+x^2}| – 4\ln|x+\sqrt{4+x^2}| + C \)
\( = \frac{x\sqrt{4+x^2}}{2} – 2\ln|x+\sqrt{4+x^2}| + C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}\,dx = \frac{x\sqrt{4+x^2}}{2} – 2\ln|x+\sqrt{4+x^2}| + C}\)
Ejercicio 49: Integral de \( \frac{x\ln(x)}{1+x^2} \).
\( \int \frac{x\ln(x)}{1+x^2}\,dx \)
Paso 1: Integración por partes
Sea \( u=\ln(x) \) y \( dv=\frac{x}{1+x^2}\,dx \). Entonces, \( du=\frac{1}{x}\,dx \) y \( v=\frac{1}{2}\ln(1+x^2) \).
Paso 2: Aplicar la fórmula
\( \int \frac{x\ln(x)}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x)\ln(1+x^2) – \frac{1}{2}\int \frac{\ln(1+x^2)}{x}\,dx \)
La integral restante no se expresa en términos de funciones elementales y se puede dejar en forma de integral o expresarse mediante funciones especiales.
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{x\ln(x)}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x)\ln(1+x^2) – \frac{1}{2}\int \frac{\ln(1+x^2)}{x}\,dx + C}\)
Ejercicio 50: Integral de \( \frac{\arctan(x)}{1+x^2} \).
\( \int \frac{\arctan(x)}{1+x^2}\,dx \)
Paso 1: Reconocer la sustitución
Observa que la derivada de \( \arctan(x) \) es \( \frac{1}{1+x^2} \).
Paso 2: Realizar la sustitución
Sea \( u=\arctan(x) \) → \( du=\frac{dx}{1+x^2} \).
Paso 3: Integrar
\( \int \frac{\arctan(x)}{1+x^2}\,dx = \int u\,du = \frac{u^2}{2}+C \)
\( = \frac{(\arctan(x))^2}{2}+C \)
Resultado Final
\(\boxed{\int \frac{\arctan(x)}{1+x^2}\,dx = \frac{(\arctan(x))^2}{2}+C}\)