Sea una lámina delgada (con densidad uniforme \(\displaystyle \sigma\)) limitada por las curvas \(\displaystyle y = x^2\) y \(\displaystyle y = x\) en el primer cuadrante. Nuestro objetivo es calcular el centro de masas \((\bar{x}, \bar{y})\) de la región.
1. Identificación de la Región
En el primer cuadrante, las curvas \(\displaystyle y = x^2\) y \(\displaystyle y = x\) se intersectan cuando \(\displaystyle x^2 = x\). Esto sucede en \(\displaystyle x = 0\) y \(\displaystyle x = 1\). Por tanto, la región \(R\) está dada por: \[ 0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x. \]
2. Cálculo del Área y la Masa Total
El área de la región \(R\) se obtiene mediante la integral: \[ A = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x^2}^{x} \, dy \, dx = \int_{0}^{1} \bigl[x – x^2\bigr] \, dx. \] Evaluando, \[ \int_{0}^{1} (x – x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \] Dado que la densidad es uniforme \(\displaystyle \sigma\), la masa total de la lámina es: \[ M = \sigma \cdot A = \sigma \cdot \frac{1}{6}. \]
3. Coordenada x del Centro de Masas
La coordenada \(\displaystyle \bar{x}\) se calcula como \[ \bar{x} = \frac{1}{M}\iint_R x \,\mathrm{d}m = \frac{1}{\sigma \cdot \frac{1}{6}} \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x} x \,\sigma \, dy\, dx. \] La \(\displaystyle \sigma\) se cancela y queda: \[ \bar{x} = 6 \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x} x \, dy\, dx. \] Primero resolvemos la integral interna: \[ \int_{y=x^2}^{x} x \, dy = x \,\Bigl[y\Bigr]_{x^2}^{x} = x\,\bigl(x – x^2\bigr) = x^2 – x^3. \] Luego integramos respecto a \(\displaystyle x\): \[ \int_{0}^{1} (x^2 – x^3)\, dx = \left[\frac{x^3}{3} – \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} = \frac{1}{12}. \] Multiplicamos por 6: \[ \bar{x} = 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2}. \]
4. Coordenada y del Centro de Masas
Análogamente, la coordenada \(\displaystyle \bar{y}\) se calcula como \[ \bar{y} = \frac{1}{M}\iint_R y \,\mathrm{d}m = \frac{1}{\sigma \cdot \frac{1}{6}} \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x} y \,\sigma \, dy\, dx. \] Nuevamente se cancela la \(\displaystyle \sigma\): \[ \bar{y} = 6 \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x} y \, dy\, dx. \] La integral interna es: \[ \int_{y=x^2}^{x} y \, dy = \left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{x} = \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{2} = \frac{1}{2}(x^2 – x^4). \] Luego, \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{2}(x^2 – x^4)\, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} (x^2 – x^4)\, dx = \frac{1}{2} \left(\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} – \left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} = \frac{1}{15}. \] Multiplicamos el resultado por 6: \[ \bar{y} = 6 \cdot \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}. \]
5. Conclusión
Por lo tanto, el centro de masas \((\bar{x}, \bar{y})\) de la lámina se encuentra en \[ \boxed{\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{5}\right)}. \]