¿Te has preguntado alguna vez cómo combinar potencias y raíces en una sola expresión? La ecuación 32(1/√x) = 4 es un ejemplo perfecto de cómo, a través de la manipulación de exponentes, podemos encontrar una solución clara y elegante. En este ejercicio, veremos paso a paso cómo reescribir los números en potencias de 2 para desentrañar el valor de x. ¡Vamos a ello!
\( 32^{\frac{1}{\sqrt{x}}} = 4 \)
Paso 1: Reescribir en base 2
Observamos que tanto 32 como 4 pueden expresarse como potencias de 2:
- \(32 = 2^5\)
- \(4 = 2^2\)
Por lo tanto, la ecuación se convierte en:
\[ \left(2^5\right)^{\frac{1}{\sqrt{x}}} = 2^2. \]Lo que simplifica a:
\[ 2^{\frac{5}{\sqrt{x}}} = 2^2. \]Paso 2: Igualar exponentes
Si \(2^a = 2^b\), entonces \(a = b\). Aplicando este principio:
\[ \frac{5}{\sqrt{x}} = 2. \]Paso 3: Despejar \(x\)
Despejamos \(\sqrt{x}\):
\[ \sqrt{x} = \frac{5}{2}. \]Elevando ambos lados al cuadrado:
\[ x = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}. \]Solución Final
La solución de la ecuación es:
\(\boxed{x = \frac{25}{4}}\)
* Observando el dominio, requerimos \(x > 0\) para que \(\sqrt{x}\) sea real. La solución \(x = \tfrac{25}{4}\) satisface esta condición.