Ejercicio: Demostrar que \(\displaystyle \sin(2x) = \frac{2\,\tan(x)}{1 + \tan^2(x)}.\)
En esta identidad, relacionamos la expresión clásica \(\sin(2x) = 2\,\sin(x)\cos(x)\) con la definición de \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Veremos que ambas expresiones coinciden al simplificar.
\( \sin(2x) = \frac{2\,\tan(x)}{1 + \tan^2(x)} \)
Paso 1: Usar la identidad del ángulo doble para el seno
Sabemos que: \[ \sin(2x) = 2\,\sin(x)\cos(x). \] Nuestro objetivo es expresar esta forma en términos de \(\tan(x)\).
Paso 2: Reemplazar \(\sin(x)\) con \(\tan(x)\cos(x)\)
Dado que \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)},\) se sigue que \(\sin(x) = \tan(x)\,\cos(x).\) Por lo tanto, \[ \sin(2x) = 2\,\bigl[\tan(x)\,\cos(x)\bigr] \cos(x) = 2\,\tan(x)\,\cos^2(x). \]
Paso 3: Expresar \(\cos^2(x)\) en función de \(\tan(x)\)
De la identidad \(\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)\), sabemos que \(\cos^2(x) = \frac{1}{\sec^2(x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(x)}.\) Así, \[ 2\,\tan(x)\,\cos^2(x) = 2\,\tan(x)\,\frac{1}{1 + \tan^2(x)} = \frac{2\,\tan(x)}{1 + \tan^2(x)}. \]
Paso 4: Conclusión
De esta manera, queda demostrado que \[ \sin(2x) = 2\,\sin(x)\cos(x) = 2\,\tan(x)\,\cos^2(x) = \frac{2\,\tan(x)}{1 + \tan^2(x)}, \] cumpliéndose la igualdad buscada.
Resultado Final
\(\boxed{\sin(2x) = \frac{2\,\tan(x)}{1 + \tan^2(x)}}\)