Problema 1: Suma de un Número y su Doble
Enunciado
Encuentra un número que, sumado a su doble, da un total de 36.
Resolución Detallada
1. Planteamiento
Sea \( x \) el número buscado. La condición se traduce en:
\[ x + 2x = 36 \]
2. Resolución
\( 3x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{36}{3} = 12 \)
3. Conclusión
El número que cumple la condición es 12.
Problema 2: Relación y Suma de Dos Números
Enunciado
Dos números cumplen que el mayor es 3 veces el menor y la suma de ambos es 64. ¿Cuáles son los dos números?
Resolución Detallada
1. Planteamiento
Sea \( x \) la cantidad del número menor; entonces el mayor es \( 3x \). La suma es:
\[ x + 3x = 64 \]
2. Resolución
\( 4x = 64 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{64}{4} = 16 \)
Entonces, el mayor es \( 3 \times 16 = 48 \).
3. Conclusión
Los números son 16 y 48.
Problema 3: Relación Cuadrática
Enunciado
El cuadrado de un número es 25 más que el doble de ese número. ¿Cuál es el número?
Resolución Detallada
1. Planteamiento
Sea \( x \) el número. La condición se expresa como:
\[ x^2 = 2x + 25 \]
2. Resolución
Reorganizando la ecuación:
\[ x^2 – 2x – 25 = 0 \]
Usamos la fórmula general:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 – 4(1)(-25)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+100}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{104}}{2} \]
Como se busca el número positivo, se toma:
\[ x = \frac{2 + \sqrt{104}}{2} \approx \frac{2+10.198}{2} \approx 6.099 \]
3. Conclusión
El número es aproximadamente 6.10.
Problema 4: Relación Lineal Sencilla
Enunciado
El triple de un número es igual a 4 veces ese número disminuido en 8. ¿Cuál es el número?
Resolución Detallada
1. Planteamiento
Sea \( x \) el número. La condición se expresa como:
\[ 3x = 4x – 8 \]
2. Resolución
\( 3x – 4x = -8 \quad \Rightarrow \quad -x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \)
3. Conclusión
El número es 8.
Problema 5: Suma y Cuadrado de un Número
Enunciado
La suma del cuadrado de un número y 3 veces ese número es 28. ¿Cuál es el número?
Resolución Detallada
1. Planteamiento
Sea \( x \) el número. La condición se expresa como:
\[ x^2 + 3x = 28 \]
Reorganizando la ecuación:
\[ x^2 + 3x – 28 = 0 \]
2. Resolución
Aplicamos la fórmula general:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 – 4(1)(-28)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+112}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} \]
\[ x = \frac{-3 \pm 11}{2} \]
Se obtienen dos soluciones:
\( x = \frac{-3 + 11}{2} = 4 \quad \text{y} \quad x = \frac{-3 – 11}{2} = -7 \)
3. Conclusión
Si se considera la solución positiva, el número es 4 (también existe la solución negativa \( -7 \) si se permiten ambos).
Problema 6: Número de Tres Dígitos con Relaciones Entre Dígitos
Enunciado
Encuentra el número de tres dígitos \(ABC\) que cumple las siguientes condiciones:
- La cifra de las centenas es igual a la cifra de las decenas disminuida en 1, es decir, \(A = B – 1\).
- La cifra de las unidades es igual a la cifra de las centenas aumentada en 2, es decir, \(C = A + 2\).
- La suma de sus dígitos es 12.
Resolución Detallada
1. Representación y Relaciones
Sea \(A\), \(B\) y \(C\) las cifras del número, con:
- \(A = B – 1\)
- \(C = A + 2\)
2. Planteamiento de la Suma de Dígitos
\( A + B + C = 12 \)
Sustituyendo \(A = B – 1\) y \(C = (B – 1) + 2 = B + 1\):
\[ (B-1) + B + (B+1) = 12 \quad \Rightarrow \quad 3B = 12 \quad \Rightarrow \quad B = 4 \]
3. Determinación de las Cifras
Entonces, \(A = 4 – 1 = 3\) y \(C = 3 + 2 = 5\).
4. Conclusión
El número es 345.
Problema 7: Número Capicúa de la Forma ABBA
Enunciado
Encuentra el menor número de cuatro dígitos de la forma \(ABBA\) cuya suma de dígitos es 18 y, por lo tanto, es divisible por 9.
Resolución Detallada
1. Representación del Número
Un número de la forma \(ABBA\) se expresa como:
\(1001A + 110B\)
2. Condición de Suma de Dígitos
La suma de los dígitos es:
\(A + B + B + A = 2A + 2B = 18 \quad \Rightarrow \quad A + B = 9\)
3. Selección del Menor Número
Para obtener el menor número, se elige el menor valor posible para \(A\) (recordando que \(A\) debe ser distinto de 0). Tomamos \(A=1\) y, por lo tanto, \(B = 9 – 1 = 8\).
Número = \(1001(1) + 110(8) = 1001 + 880 = 1881\)
4. Conclusión
El menor número de la forma \(ABBA\) con suma de dígitos 18 es 1881.
Problema 8: Ecuación Lineal con Condición de Multiplicación
Enunciado
Encuentra un número \(x\) tal que al multiplicarlo por 5 y restarle 7 se obtiene el mismo resultado que al multiplicarlo por 4 y sumarle 8.
Resolución Detallada
1. Planteamiento de la Ecuación
\( 5x – 7 = 4(x + 2) \)
2. Resolución
\( 5x – 7 = 4x + 8 \quad \Rightarrow \quad 5x – 4x = 8 + 7 \quad \Rightarrow \quad x = 15 \)
3. Conclusión
El número que cumple la condición es 15.
Problema 9: Número que es 8 Menos que el Doble de Sí Mismo
Enunciado
Encuentra el número entero positivo \(x\) que es 8 menos que el doble de sí mismo.
Resolución Detallada
1. Planteamiento de la Ecuación
\( x = 2x – 8 \)
2. Resolución
\( x – 2x = -8 \quad \Rightarrow \quad -x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \)
3. Conclusión
El número que cumple la condición es 8.
Problema 10: Número de Dos Dígitos Igual a 5 veces la Suma de sus Dígitos
Enunciado
Encuentra un número de dos dígitos que sea igual a 5 veces la suma de sus dígitos.
Resolución Detallada
1. Representación del Número
Sea el número \(10a + b\), donde \(a\) es la cifra de las decenas y \(b\) la de las unidades.
2. Planteamiento de la Ecuación
\( 10a + b = 5(a + b) \)
3. Resolución
\( 10a + b = 5a + 5b \quad \Rightarrow \quad 10a – 5a = 5b – b \quad \Rightarrow \quad 5a = 4b \)
Esto implica que:
\( a = \frac{4}{5}b \)
Como \(a\) y \(b\) son dígitos enteros y \(a\) debe ser un número entero, \(b\) debe ser múltiplo de 5. Tomamos \(b = 5\), entonces \(a = \frac{4}{5}\times5 = 4\).
Número = \(10(4) + 5 = 45\)
4. Conclusión
El número que cumple la condición es 45.