Ecuación exponencial 15 = 3^x * 5^(x^2)

¿Sabías que en algunas ecuaciones exponenciales pueden aparecer exponentes lineales y cuadráticos al mismo tiempo? La ecuación \(15 = 3^x \cdot 5^{x^2}\) es un ejemplo perfecto para ver cómo combinar propiedades de logaritmos y resolver un caso que conduce a una ecuación cuadrática en x.

\(15 = 3^x \cdot 5^{x^2}\)

Paso 1: Aplicar logaritmos a ambos lados

Para manejar los exponentes donde aparece x y x², aplicamos logaritmos (por ejemplo, el logaritmo natural) a ambos lados de la ecuación:

\[ \ln(15) = \ln\bigl(3^x \cdot 5^{x^2}\bigr). \]

Por la propiedad \(\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\), obtenemos:

\[ \ln(15) = \ln\bigl(3^x\bigr) + \ln\bigl(5^{x^2}\bigr). \]

Paso 2: Usar la propiedad de las potencias en los logaritmos

Empleamos la propiedad \(\ln(a^b) = b \ln(a)\) para cada término:

\[ \ln(15) = x \ln(3) + x^2 \ln(5). \]

Paso 3: Formar la ecuación cuadrática

Para mayor claridad, reordenamos:

\[ x^2 \ln(5) + x \ln(3) \;-\; \ln(15) = 0. \]

Observa que es una ecuación cuadrática en x, donde:

  • A = \(\ln(5)\)
  • B = \(\ln(3)\)
  • C = \(-\ln(15)\)

Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática

Aplicamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: \(\displaystyle x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A}\). En nuestro caso:

\[ x = \frac{-\ln(3) \pm \sqrt{(\ln(3))^2 – 4\,\ln(5)\,\bigl(-\ln(15)\bigr)}}{2\,\ln(5)}. \]

Simplificando el discriminante:

\[ (\ln(3))^2 + 4\,\ln(5)\,\ln(15). \]

Solución Final

Del análisis (o factorizando el polinomio) se obtienen dos soluciones exactas:

  • \(\displaystyle x = 1\)
    (pues \(3^1 \times 5^{1^2} = 3 \times 5 = 15\)).
  • \(\displaystyle x = -\frac{\ln(15)}{\ln(5)}\)

Veamos sus valores numéricos aproximados:

  • Primera solución: \(x = 1\) (exacta y obvia al comprobar \(3^1 \cdot 5^1 = 15\)).
  • Segunda solución: \[ x = -\frac{\ln(15)}{\ln(5)}. \] Usando: \(\ln(15) \approx 2.7081\) y \(\ln(5) \approx 1.6094\), obtenemos: \[ x \approx -\frac{2.7081}{1.6094} \approx -1.683. \]

* Ambas soluciones son válidas, pues no existen restricciones que impidan a x tomar valores negativos o positivos en la expresión \(3^x \cdot 5^{x^2}\).