Paso 1: Reconocer las raíces doceavas de la unidad

La ecuación equivale a:

\[ x^{12} = 1 \]

Las soluciones son los 12 vértices del dodecágono regular en el plano complejo.

Paso 2: Factorización inicial

Usamos diferencia de cuadrados:

\[ x^{12} – 1 = (x^6)^2 – 1 = (x^6 – 1)(x^6 + 1) \]

Paso 3: Factorizar \(x^6 – 1\)

\[ x^6 – 1 = (x^3)^2 – 1 = (x^3 – 1)(x^3 + 1) \]

Factorizando cubos perfectos:

\[ \begin{aligned} x^3 – 1 &= (x – 1)(x^2 + x + 1) \\ x^3 + 1 &= (x + 1)(x^2 – x + 1) \end{aligned} \]

Paso 4: Factorizar \(x^6 + 1\)

Usamos suma de cuadrados:

\[ x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1 = (x^2 + 1)(x^4 – x^2 + 1) \]

Factorizando \(x^4 – x^2 + 1\):

\[ x^4 – x^2 + 1 = (x^2 + \sqrt{3}x + 1)(x^2 – \sqrt{3}x + 1) \]

Paso 5: Resolver cada factor

Raíces reales:

\[ x – 1 = 0 \implies \boxed{x = 1} \\ x + 1 = 0 \implies \boxed{x = -1} \]

Raíces complejas (resolviendo cuadráticas):

\[ \begin{aligned} x^2 + x + 1 = 0 &\implies x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \\ x^2 – x + 1 = 0 &\implies x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \\ x^2 + 1 = 0 &\implies x = \pm i \\ x^2 + \sqrt{3}x + 1 = 0 &\implies x = \frac{-\sqrt{3} \pm i}{2} \\ x^2 – \sqrt{3}x + 1 = 0 &\implies x = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2} \end{aligned} \]

Soluciones Finales

Las 12 raíces en forma exponencial (\(k = 0,1,…,11\)):

\[ \boxed{x = e^{2\pi i k/12} = \cos\left(\frac{\pi k}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi k}{6}\right)} \]

Distribución angular: \(0°, 30°, 60°, …, 330°\)

* Forman un dodecágono regular en el plano complejo

¿Quieres ver la representación geométrica? Aquí te la dejo 📐