Ejercicio: Demostrar que \(\displaystyle \frac{2\,\sin(x)}{\tan(2x)} = \cos(x) \;-\; \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}.\)
Para ello, utilizaremos la definición de la tangente de ángulo doble \(\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\) y la identidad \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\).
\( \frac{2\,\sin(x)}{\tan(2x)} = \cos(x) \;-\; \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} \)
Paso 1: Reescribir la tangente de doble ángulo
Sabemos que \[ \tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}. \] Entonces, \[ \frac{2\,\sin(x)}{\tan(2x)} = 2\,\sin(x) \,\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}. \]
Paso 2: Sustituir \(\sin(2x)\) por \(2\sin(x)\cos(x)\)
Recordando que \(\sin(2x) = 2\,\sin(x)\cos(x)\), tenemos: \[ 2\,\sin(x)\,\frac{\cos(2x)}{2\,\sin(x)\cos(x)} = \frac{\cos(2x)}{\cos(x)}. \] Así, el lado izquierdo se reduce a \(\cos(2x)/\cos(x)\).
Paso 3: Descomponer \(\cos(2x)\) en función de \(\cos^2(x)\) y \(\sin^2(x)\)
De la identidad de ángulo doble, \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\). Por tanto, \[ \frac{\cos(2x)}{\cos(x)} = \frac{\cos^2(x) – \sin^2(x)}{\cos(x)} = \cos(x) \;-\; \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}. \]
Conclusión
Hemos mostrado que \[ \frac{2\,\sin(x)}{\tan(2x)} = \frac{\cos(2x)}{\cos(x)} = \cos(x) \;-\; \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}, \] por lo que la igualdad queda demostrada.
Resultado Final
\(\boxed{\frac{2\,\sin(x)}{\tan(2x)} = \cos(x) – \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}}\)