A continuación, una clase de potencias y radicales, lo más importante, en donde se da un repaso a todas las propiedades que hay que saber. Importante: consideramos únicamente el manejo de números enteros positivos.
🔰 Nivel Básico (Ejercicios 1-8)
Ejercicio 1: Potencia Simple
Calcular: \(3^4\)
Desarrollo:
- \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)
Ejercicio 2: Exponente Cero
Resolver: \((127)^0\)
- Propiedad: \(a^0 = 1\) (con \(a \neq 0\))
- \((127)^0 = 1\)
Ejercicio 3: Exponente Negativo
Simplificar: \(5^{-2}\)
- Propiedad: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
- \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04\)
Ejercicio 4: Multiplicación de Bases Iguales
Resolver: \(7^3 \times 7^5\)
- Propiedad: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
- \(7^{3+5} = 7^8 = 5,\!764,\!801\)
Ejercicio 5: División de Bases Iguales
Calcular: \(\frac{2^6}{2^3}\)
- Propiedad: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
- \(2^{6-3} = 2^3 = 8\)
Ejercicio 6: Potencia de Producto
Simplificar: \((2 \times 5)^3\)
- Propiedad: \((ab)^n = a^n b^n\)
- \(2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1,\!000\)
Ejercicio 7: Potencia de Cociente
Resolver: \(\left(\frac{4}{3}\right)^2\)
- Propiedad: \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
- \(\frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} \approx 1.78\)
Ejercicio 8: Raíz Cuadrada Básica
Calcular: \(\sqrt{144}\)
- \(\sqrt{144} = 12\) porque \(12 \times 12 = 144\)
📚 Nivel Intermedio (Ejercicios 9-16)
Ejercicio 9: Multiplicación Mixta
Simplificar: \(3^2 \times 3^{-1} \times 3^4\)
- Suma de exponentes: \(2 + (-1) + 4 = 5\)
- Resultado: \(3^5 = 243\)
Ejercicio 10: Potencia de Potencia
Simplificar: \((5^2)^3\)
- Propiedad: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
- \(5^{2 \times 3} = 5^6 = 15,\!625\)
Ejercicio 11: Expresión Compuesta
Resolver: \(\frac{(2^3 \times 2^5)}{2^4}\)
- Numerador: \(2^{3+5} = 2^8 = 256\)
- División: \(\frac{256}{2^4} = \frac{256}{16} = 16\)
Ejercicio 12: Radical a Exponente
Expresar: \(\sqrt[4]{x^8}\)
- Propiedad: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\)
- \(\sqrt[4]{x^8} = x^{8/4} = x^2\)
Ejercicio 13: Simplificación de Radicales
Reducir: \(\sqrt{50}\)
- Factorización: \(50 = 25 \times 2\)
- \(\sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\)
Ejercicio 14: Operación Mixta
Calcular: \( \left( \sqrt{9} \times 2^3 \right)^2 \)
- \(\sqrt{9} = 3\)
- \(2^3 = 8\)
- \(3 \times 8 = 24\)
- \(24^2 = 576\)
Ejercicio 15: Exponentes Fraccionarios
Simplificar: \(8^{2/3}\)
- \(8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\)
Ejercicio 16: Desafío Combinado
Resolver: \(\sqrt[3]{27} \times \left( \frac{5^2}{5^{-1}} \right)\)
- \(\sqrt[3]{27} = 3\)
- \(\frac{5^2}{5^{-1}} = 5^{2-(-1)} = 5^3 = 125\)
- \(3 \times 125 = 375\)
🚀 Nivel Avanzado (Ejercicios 17-25)
Ejercicio 17: Simplificación Radical
Expresar: \(\sqrt[3]{x^6}\)
- \(\sqrt[3]{x^6} = x^{6/3} = x^2\)
Ejercicio 18: Operaciones Mixtas
Simplificar: \(\frac{\sqrt{16^2} \times 3^{-2}}{(2^3)^{1/2}}\)
- \(\sqrt{16^2} = 16\)
- \(3^{-2} = \frac{1}{9}\)
- \((2^3)^{1/2} = 2^{1.5} = 2\sqrt{2}\)
- \(\frac{16 \times \frac{1}{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{16}{18\sqrt{2}} = \frac{8}{9\sqrt{2}}\)
Ejercicio 19: Expresión Algebraica Compleja
Simplificar: \(\left( \frac{x^4 y^{-2}}{x^{-1} y^3} \right)^2\)
- Simplificar base: \[ \frac{x^4}{x^{-1}} = x^{4-(-1)} = x^5 \] \[ \frac{y^{-2}}{y^3} = y^{-2-3} = y^{-5} \]
- Expresión completa: \((x^5 y^{-5})^2 = x^{10} y^{-10} = \frac{x^{10}}{y^{10}}\)
Ejercicio 20: Radicales Anidados
Simplificar: \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} \times \sqrt{2 – \sqrt{3}}\)
- Propiedad: \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\)
- \(\sqrt{(2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3})}\)
- Diferencia de cuadrados: \(2^2 – (\sqrt{3})^2 = 4 – 3 = 1\)
- Resultado: \(\sqrt{1} = 1\)
Ejercicio 21: Exponentes Racionales Complejos
Resolver: \((8^{1/3} \times 16^{1/4})^{2}\)
- \(8^{1/3} = 2\) (porque \(2^3 = 8\))
- \(16^{1/4} = 2\) (porque \(2^4 = 16\))
- Multiplicación: \(2 \times 2 = 4\)
- Cuadrado: \(4^2 = 16\)
Ejercicio 22: Simplificación Radical Compuesta
Reducir: \(\sqrt[3]{\sqrt{4096}}\)
- \(\sqrt{4096} = 64\)
- \(\sqrt[3]{64} = 4\)
- Forma exponencial: \(4096^{1/2 \times 1/3} = 4096^{1/6} = 4\)
Ejercicio 23: Expresión Algebraica Avanzada
Simplificar: \(\frac{\sqrt{x^5 y^{-2}}}{\sqrt[4]{x^3 y^6}}\)
- Convertir a exponentes: \[ \frac{x^{5/2} y^{-1}}{x^{3/4} y^{3/2}} = x^{(5/2 – 3/4)} y^{(-1 – 3/2)} \]
- Simplificar exponentes: \[ x^{7/4} y^{-5/2} = \frac{x^{7/4}}{y^{5/2}} = \frac{\sqrt[4]{x^7}}{\sqrt{y^5}} \]
Ejercicio 24: Aplicación Geométrica
Calcular el área de un cubo cuyo volumen es \(125x^6\)
- Volumen cubo: \(V = a^3 = 125x^6\)
- Arista: \(a = \sqrt[3]{125x^6} = 5x^2\)
- Área superficial: \(6a^2 = 6(5x^2)^2 = 150x^4\)
Ejercicio 25: Desafío Final Integrador
Resolver: \(\left(\frac{2^{-1} \sqrt{81} \times 4^{3/2}}{3^2 \times \sqrt[3]{27}}\right)^{1/2}\)
- \(2^{-1} = \frac{1}{2}\)
- \(\sqrt{81} = 9\)
- \(4^{3/2} = 8\)
- Numerador: \(\frac{1}{2} \times 9 \times 8 = 36\)
- Denominador: \(3^2 \times 3 = 27\)
- Fracción: \(\frac{36}{27} = \frac{4}{3}\)
- Raíz cuadrada: \(\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)