A continuación tienes un conjunto de integrales indefinidas calculadas paso a paso. Espero que sirvan de ayuda para entender esta técnica de integración. Por cierto, la demostración de la fórmula usada una y otra vez aquí la tienes en formato vídeo: DEMOSTRACIÓN FÓRMULA INTEGRACIÓN POR PARTES
📚 Integración por Partes – Explicación Completa
\[
\int u\,dv = uv – \int v\,du + C
\]
1. \(\int x e^{x}\,dx\)
Paso 1: Elección de componentes
\[
u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \\
dv = e^{x}dx \quad \Rightarrow \quad v = \int e^{x}dx = e^{x}
\]
Paso 2: Aplicar fórmula
\[
\int x e^{x}dx = x \cdot e^{x} – \int e^{x} \cdot dx
\]
Paso 3: Resolver integral restante
\[
\int e^{x}dx = e^{x} + C
\]
Paso 4: Combinar resultados
\[
= x e^{x} – e^{x} + C = e^{x}(x – 1) + C
\]
2. \(\int x \sin x\,dx\)
Paso 1: Selección LIATE
\[
u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \\
dv = \sin x\,dx \quad \Rightarrow \quad v = -\cos x
\]
Paso 2: Aplicar fórmula
\[
\int x \sin x\,dx = -x \cos x – \int (-\cos x)dx
\]
Paso 3: Simplificar signos
\[
= -x \cos x + \int \cos x\,dx
\]
Paso 4: Integrar coseno
\[
= -x \cos x + \sin x + C
\]
3. \(\int \ln x\,dx\)
Paso 1: Reescribir integral
\[
\int 1 \cdot \ln x\,dx
\]
Paso 2: Asignar componentes
\[
u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x}dx \\
dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x
\]
Paso 3: Aplicar fórmula
\[
= x \ln x – \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x \ln x – \int 1\,dx
\]
Paso 4: Integral final
\[
= x \ln x – x + C
\]
4. \(\int x \ln x\,dx\)
Paso 1: Elegir componentes
\[
u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x}dx \\
dv = x\,dx \quad \Rightarrow \quad v = \frac{x^2}{2}
\]
Paso 2: Aplicar fórmula
\[
= \frac{x^2}{2} \ln x – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}dx
\]
Paso 3: Simplificar integral
\[
= \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \int x\,dx
\]
Paso 4: Resolver integral simple
\[
= \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + C
\]
5. \(\int \arctan x\,dx\)
Paso 1: Preparación inicial
\[
\int 1 \cdot \arctan x\,dx
\]
Paso 2: Asignar componentes
\[
u = \arctan x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{1+x^2}dx \\
dv = dx \quad \Rightarrow \quad v = x
\]
Paso 3: Aplicar fórmula
\[
= x \arctan x – \int \frac{x}{1+x^2}dx
\]
Paso 4: Sustitución \( t = 1+x^2 \)
\[
\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2} \ln|1+x^2| + C
\]
Paso 5: Resultado final
\[
= x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C
\]
6. \(\int x \cos x\,dx\)
Paso 1: Elección de componentes
\[
u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx \\
dv = \cos x\,dx \quad \Rightarrow \quad v = \sin x
\]
Paso 2: Aplicar fórmula
\[
\int x \cos x\,dx = x \sin x – \int \sin x\,dx
\]
Paso 3: Resolver integral restante
\[
\int \sin x\,dx = -\cos x + C
\]
Paso 4: Resultado final
\[
= x \sin x + \cos x + C
\]
7. \(\int x^2 e^{x}\,dx\)
Primera aplicación:
\[
u = x^2 \Rightarrow du = 2x\,dx \\
dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x
\]
\[
= x^2 e^x – 2\int x e^x\,dx
\]
Segunda aplicación (\(\int x e^x\,dx\)):
\[
u = x \Rightarrow du = dx \\
dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x
\]
\[
\int x e^x dx = x e^x – \int e^x dx = x e^x – e^x
\]
Combinar resultados:
\[
= x^2 e^x – 2(x e^x – e^x) + C \\
= e^x(x^2 – 2x + 2) + C
\]
8. \(\int e^{x} \sin x\,dx\)
Primera aplicación:
\[
u = e^x \Rightarrow du = e^x dx \\
dv = \sin x\,dx \Rightarrow v = -\cos x
\]
\[
= -e^x \cos x + \int e^x \cos x\,dx
\]
Segunda aplicación (\(\int e^x \cos x\,dx\)):
\[
u = e^x \Rightarrow du = e^x dx \\
dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x
\]
\[
= e^x \sin x – \int e^x \sin x\,dx
\]
Resolver sistema:
\[
I = -e^x \cos x + e^x \sin x – I \\
2I = e^x(\sin x – \cos x) \\
I = \frac{e^x}{2}(\sin x – \cos x) + C
\]
9. \(\int (\ln x)^2\,dx\)
Primera aplicación:
\[
u = (\ln x)^2 \Rightarrow du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} dx \\
dv = dx \Rightarrow v = x
\]
\[
= x(\ln x)^2 – 2\int \ln x\,dx
\]
Resolver \(\int \ln x\,dx\):
\[
= x \ln x – x + C \quad \text{(previamente demostrado)}
\]
Resultado final:
\[
= x(\ln x)^2 – 2(x \ln x – x) + C \\
= x(\ln x)^2 – 2x \ln x + 2x + C
\]
10. \(\int \arccos x\,dx\)
Paso 1: Componentes
\[
u = \arccos x \Rightarrow du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \\
dv = dx \Rightarrow v = x
\]
\[
= x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx
\]
Paso 2: Sustitución \( t = 1 – x^2 \)
\[
dt = -2x dx \Rightarrow -\frac{1}{2} dt = x dx \\
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt \\
= -\frac{1}{2} \cdot 2t^{1/2} = -\sqrt{1-x^2}
\]
Paso 3: Combinar resultados
\[
= x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C
\]
💡 Técnicas Clave Demostradas
- Aplicaciones múltiples: Ejercicios 7 y 8
- Sustitución combinada: Ejercicios 5 y 10
- Integrales cíclicas: Ejercicio 8
- Integrales recursivas: Ejercicio 9