El cálculo de longitudes mediante integrales es una herramienta esencial para determinar de forma precisa la medida de trayectorias y curvas en contextos donde la geometría clásica resulta insuficiente. Este método permite transformar funciones complejas en resultados exactos, siendo fundamental en aplicaciones de física e ingeniería para modelar y analizar sistemas reales. Dominar el cálculo de longitudes con integrales es indispensable para cualquier profesional o estudiante que busque precisión y rigor en el análisis de formas y estructuras.
Ejercicio 1: Calcular la longitud de la curva \( y=x^2 \) para \( x \) en el intervalo \([0,1]\).
\( L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx \)
Paso 1: Calcular la derivada
Dado que \( y=x^2 \), la derivada es: \[ \frac{dy}{dx} = 2x. \]
Paso 2: Configurar la integral
La longitud de arco se expresa como: \[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(2x)^2}\,dx = \int_{0}^{1} \sqrt{1+4x^2}\,dx. \]
Paso 3: Resolver la integral
La integral de \( \sqrt{1+4x^2} \) se resuelve utilizando una sustitución trigonométrica o la fórmula estándar: \[ \int \sqrt{1+4x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^2} + \frac{1}{4}\ln\left|2x+\sqrt{1+4x^2}\right| + C. \] Evaluamos de \( x=0 \) a \( x=1 \): \[ L = \left[\frac{x}{2}\sqrt{1+4x^2} + \frac{1}{4}\ln\left(2x+\sqrt{1+4x^2}\right)\right]_{0}^{1}. \]
Al evaluar:
En \( x=1 \): \( \frac{1}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{4}\ln\left(2+\sqrt{5}\right) \),
En \( x=0 \): 0.
Resultado Final
\(\boxed{ L = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln\left(2+\sqrt{5}\right) }\)
Ejercicio 2: Calcular la longitud de la curva \( y=\sqrt{x} \) para \( x \) en el intervalo \([0,4]\).
\( L = \int_{0}^{4} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx \)
Paso 1: Calcular la derivada
Para \( y=\sqrt{x} \), la derivada es: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. \]
Paso 2: Configurar la integral
Se tiene: \[ L = \int_{0}^{4} \sqrt{1+\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2}\,dx = \int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{1}{4x}}\,dx. \]
Paso 3: Realizar un cambio de variable
Sea \( u=\sqrt{x} \) de modo que \( x=u^2 \) y \( dx=2u\,du \). Al cambiar los límites, cuando \( x=0 \), \( u=0 \) y cuando \( x=4 \), \( u=2 \). La integral se transforma en: \[ L = \int_{0}^{2} \sqrt{1+\frac{1}{4u^2}} \cdot 2u\,du. \] Simplificando: \[ L = 2\int_{0}^{2} \sqrt{1+\frac{1}{4u^2}}\, u\,du = 2\int_{0}^{2} \sqrt{\frac{4u^2+1}{4u^2}}\, u\,du. \] \[ = 2\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{4u^2+1}}{2u}\, u\,du = \int_{0}^{2} \sqrt{4u^2+1}\,du. \]
Paso 4: Resolver la integral
La integral: \[ \int \sqrt{4u^2+1}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{4u^2+1} + \frac{1}{4}\ln\left|2u+\sqrt{4u^2+1}\right| + C. \] Evaluando de \( u=0 \) a \( u=2 \): \[ L = \left[\frac{u}{2}\sqrt{4u^2+1} + \frac{1}{4}\ln\left(2u+\sqrt{4u^2+1}\right)\right]_{0}^{2}. \] En \( u=2 \): \[ \frac{2}{2}\sqrt{16+1} + \frac{1}{4}\ln\left(4+\sqrt{17}\right) = \sqrt{17} + \frac{1}{4}\ln\left(4+\sqrt{17}\right). \]
Resultado Final
\(\boxed{ L = \sqrt{17} + \frac{1}{4}\ln\left(4+\sqrt{17}\right) }\)
Ejercicio 3: Calcular la longitud de la curva \( y=\sin(x) \) para \( x \) en el intervalo \([0,\pi]\).
\( L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos^2(x)}\,dx \)
Paso 1: Calcular la derivada
Para \( y=\sin(x) \), se tiene: \[ \frac{dy}{dx} = \cos(x). \]
Paso 2: Configurar la integral
La longitud es: \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos^2(x)}\,dx. \] Notamos que \( 1+\cos^2(x) \) no se integra en forma elemental, por lo que el resultado se expresa en términos de la integral elíptica completa.
Paso 3: Expresar la solución en términos de una integral elíptica
Utilizando la identidad \( 1+\cos^2(x)=2-\sin^2(x) \), podemos escribir: \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2-\sin^2(x)}\,dx = 2\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{2-\sin^2(x)}\,dx. \] Este resultado se relaciona con la integral elíptica de segunda especie, y se puede expresar como: \[ L = 2\sqrt{2}\,E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right), \] donde \( E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) es la integral elíptica completa de segunda especie con parámetro \( \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Resultado Final
\(\boxed{ L = 2\sqrt{2}\,E\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) }\)
Ejercicio 4: Calcular la longitud de una semicircunferencia de radio \( R \) parametrizada por: \[ x=R\cos(t),\quad y=R\sin(t),\quad t\in[0,\pi]. \]
\( L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt \)
Paso 1: Calcular las derivadas
\(\frac{dx}{dt} = -R\sin(t),\quad \frac{dy}{dt} = R\cos(t)\)
Paso 2: Configurar la integral
La suma de los cuadrados es: \[ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = R^2\sin^2(t)+R^2\cos^2(t)=R^2. \] Por lo tanto, \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{R^2}\,dt = \int_{0}^{\pi} R\,dt = R\pi. \]
Resultado Final
\(\boxed{ L = \pi R }\)
Ejercicio 5: Calcular la longitud de la curva polar \( r=1+\cos(\theta) \) para \( \theta \) en \([0,\pi]\).
\( L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta \)
Paso 1: Calcular \( r \) y \( \frac{dr}{d\theta} \)
Para \( r=1+\cos(\theta) \), se tiene: \[ \frac{dr}{d\theta} = -\sin(\theta). \]
Paso 2: Configurar la integral
Se obtiene: \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{(1+\cos(\theta))^2+(-\sin(\theta))^2}\,d\theta. \] Simplificando el integrando: \[ (1+\cos(\theta))^2+\sin^2(\theta)= 1+2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=2+2\cos(\theta). \] Entonces, \[ L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2(1+\cos(\theta))}\,d\theta = \sqrt{2}\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos(\theta)}\,d\theta. \]
Paso 3: Simplificar usando una identidad trigonométrica
Utilizamos la identidad: \[ 1+\cos(\theta)=2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right). \] Así, el integrando se vuelve: \[ \sqrt{1+\cos(\theta)} = \sqrt{2}\left|\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|. \] Para \( \theta \in [0,\pi] \), \( \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \ge 0 \), por lo que: \[ \sqrt{1+\cos(\theta)} = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right). \] La integral se transforma en: \[ L = \sqrt{2}\int_{0}^{\pi} \sqrt{2}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)d\theta = 2\int_{0}^{\pi} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)d\theta. \]
Paso 4: Resolver la integral
Sea \( u=\frac{\theta}{2} \), luego \( d\theta=2\,du \) y los límites cambian de \( u=0 \) a \( u=\frac{\pi}{2} \). Entonces: \[ L = 2\int_{0}^{\pi} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)d\theta = 2\cdot2\int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,du = 4\int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,du. \] Integrando: \[ \int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,du = \sin(u)\Big|_{0}^{\pi/2} = 1. \] Así, \( L = 4 \).
Resultado Final
\(\boxed{ L = 4 }\)
Ejercicio 6: Calcular la longitud de la curva \( y=\ln(x) \) para \( x \) en el intervalo \([1,e]\).
\( L = \int_{1}^{e} \sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\,dx \)
Paso 1: Calcular la derivada
Para \( y=\ln(x) \), se tiene: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}. \]
Paso 2: Configurar la integral
La longitud de arco es: \[ L = \int_{1}^{e} \sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\,dx = \int_{1}^{e} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\,dx. \]
Paso 3: Expresar la solución
Se puede demostrar que: \[ \int \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\,dx = \sqrt{x^2+1} – \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}\right| + C. \] Entonces, evaluando de \( x=1 \) a \( x=e \): \[ L = \left[\sqrt{x^2+1} – \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}\right|\right]_{1}^{e}. \]
Resultado Final
\(\boxed{ L = \left(\sqrt{e^2+1} – \ln\left|\frac{\sqrt{e^2+1}+1}{e}\right|\right) – \left(\sqrt{2} – \ln\left|\sqrt{2}+1\right|\right) }\)
Ejercicio 7: Calcular la longitud de la curva \( y=\frac{1}{3}x^{3/2} \) para \( x \) en el intervalo \([0,9]\).
\( L = \int_{0}^{9} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx \)
Paso 1: Calcular la derivada
Para \( y=\frac{1}{3}x^{3/2} \), se tiene: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{x^{1/2}}{2}. \]
Paso 2: Configurar la integral
El integrando es: \[ \sqrt{1+\left(\frac{x^{1/2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1+\frac{x}{4}} = \frac{\sqrt{4+x}}{2}. \] Por lo tanto, \[ L = \int_{0}^{9} \frac{\sqrt{4+x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{9} \sqrt{4+x}\,dx. \]
Paso 3: Resolver la integral
Sea \( u=x+4 \) (de modo que \( du=dx \)), cambiando los límites: cuando \( x=0 \), \( u=4 \) y cuando \( x=9 \), \( u=13 \). Entonces, \[ L = \frac{1}{2}\int_{4}^{13} \sqrt{u}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{4}^{13} = \frac{1}{3}\left(13^{3/2}-4^{3/2}\right). \] Notamos que \( 4^{3/2}= (2^2)^{3/2}=2^3=8 \).
Resultado Final
\(\boxed{ L = \frac{1}{3}\left(13^{3/2}-8\right) }\)
Ejercicio 8: Calcular la longitud de la curva paramétrica definida por \( x=t^2 \) y \( y=t^3 \) para \( t\in[0,2] \).
\( L = \int_{0}^{2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt \)
Paso 1: Calcular las derivadas
\(\frac{dx}{dt} = 2t,\quad \frac{dy}{dt} = 3t^2.\)
Paso 2: Configurar la integral
La suma de los cuadrados es: \[ (2t)^2+(3t^2)^2 = 4t^2+9t^4 = t^2(4+9t^2). \] Entonces, \[ L = \int_{0}^{2} \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt = \int_{0}^{2} t\sqrt{4+9t^2}\,dt. \]
Paso 3: Realizar un cambio de variable
Sea \( u=4+9t^2 \), de donde \( du=18t\,dt \) o \( t\,dt=\frac{du}{18} \). Los nuevos límites son: cuando \( t=0 \), \( u=4 \); cuando \( t=2 \), \( u=4+9(4)=40 \). Entonces, \[ L = \frac{1}{18}\int_{4}^{40} \sqrt{u}\,du = \frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{4}^{40} = \frac{1}{27}\left(40^{3/2}-4^{3/2}\right). \] Como \( 4^{3/2}=8 \), el resultado queda:
Resultado Final
\(\boxed{ L = \frac{1}{27}\left(40^{3/2}-8\right) }\)
Ejercicio 9: Calcular la longitud de la espiral definida en coordenadas polares por \( r=\theta \) para \( \theta\in[0,2\pi] \).
\( L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta \)
Paso 1: Determinar \( r \) y \( \frac{dr}{d\theta} \)
Dado que \( r=\theta \), se tiene: \[ \frac{dr}{d\theta}=1. \]
Paso 2: Configurar la integral
El integrando es: \[ \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} = \sqrt{\theta^2+1}. \] Por lo tanto, la longitud de arco es: \[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\theta^2+1}\,d\theta. \]
Paso 3: Expresar la solución
La integral \[ \int \sqrt{\theta^2+1}\,d\theta \] tiene antiderivada: \[ \frac{\theta}{2}\sqrt{\theta^2+1} + \frac{1}{2}\ln\left|\theta+\sqrt{\theta^2+1}\right| + C. \] Evaluando de \( 0 \) a \( 2\pi \): \[ L = \left[\frac{\theta}{2}\sqrt{\theta^2+1} + \frac{1}{2}\ln\left(\theta+\sqrt{\theta^2+1}\right)\right]_{0}^{2\pi}. \]
Resultado Final
\(\boxed{ L = \frac{2\pi}{2}\sqrt{4\pi^2+1} + \frac{1}{2}\ln\left(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1}\right) }\)
(Es decir, \( L = \pi\sqrt{4\pi^2+1} + \frac{1}{2}\ln\left(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1}\right) \))
Ejercicio 10: Calcular la longitud de la curva \( y=\sqrt{4-x^2} \) para \( x \) en el intervalo \([0,2]\), que representa un cuarto de circunferencia de radio 2.
\( L = \int_{0}^{2} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx \)
Paso 1: Calcular la derivada
Dado que \( y=\sqrt{4-x^2} \), se tiene: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}. \]
Paso 2: Configurar la integral
Se calcula: \[ 1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1+\frac{x^2}{4-x^2} = \frac{4-x^2+x^2}{4-x^2} = \frac{4}{4-x^2}. \] Así, la raíz es: \[ \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}. \] La integral se convierte en: \[ L = \int_{0}^{2} \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx. \]
Paso 3: Resolver la integral
Reconocemos que: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C. \] Entonces, \[ L = 2\left[\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{2} = 2\left(\arcsin(1)-\arcsin(0)\right)= 2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)= \pi. \]
Resultado Final
\(\boxed{ L = \pi }\)