Sistemas Lineales

1. Repaso: Ecuaciones y Sistemas

1.1 Ecuación Lineal de Dos Incógnitas

Una ecuación lineal de dos incógnitas tiene la forma \( ax + by = c \) , donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes reales. Ejemplo: \( 3x + 2y = 7 \).

1.2 Sistema de Dos Ecuaciones Lineales

Un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas se expresa de la siguiente forma:

1.3 Sistemas Homogéneos

Un sistema homogéneo es aquel en que todos los términos independientes son cero.

La solución trivial es \( x = 0, y = 0 \); si las ecuaciones son dependientes, existen infinitas soluciones.

1.4 Sistemas Equivalentes

Dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Ambos tienen la solución \( x + y = 3 \); por ello, son equivalentes.

2. Resolución de Sistemas (Gauss-Jordan)

2.1 Método de Eliminación (Gauss-Jordan)

Este método consiste en transformar la matriz aumentada \([A|b]\) mediante operaciones elementales (intercambio de filas, multiplicación por un escalar y suma de filas) hasta obtener la forma escalonada reducida, donde la parte izquierda es la matriz identidad. Así se obtiene la solución del sistema.

Ejemplo 1: Sistema 2×2

Considera el sistema: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 6,\\[4pt] x – y = 2. \end{cases} $$

Forma aumentada:

1. Multiplica la fila 2 por 2: $$ R2 \to 2R2: \quad \left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 6 \\ 2 & -2 & 4 \end{array}\right]. $$
2. Resta la fila 2 de la fila 1: $$ R1 \to R1 – R2: \quad \left[\begin{array}{cc|c} 0 & 5 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{array}\right]. $$
3. Intercambia filas: $$ \left[\begin{array}{cc|c} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right]. $$
4. Divide la fila 1 entre 2: $$ R1 \to \tfrac{1}{2}R1: \quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right]. $$
5. Divide la fila 2 entre 5: $$ R2 \to \tfrac{1}{5}R2: \quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & \tfrac{2}{5} \end{array}\right]. $$
6. Suma la fila 2 a la fila 1: $$ R1 \to R1 + R2: \quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2+\tfrac{2}{5} \\ 0 & 1 & \tfrac{2}{5} \end{array}\right]. $$ Es decir, \( 2+\tfrac{2}{5} = \tfrac{12}{5} \).

La solución es: $$ x=\tfrac{12}{5}, \quad y=\tfrac{2}{5}. $$

Ejemplo 2: Sistema 3×3

Considera el sistema: $$ \begin{cases} x + 2y – z = 1,\\[4pt] 2x – y + 3z = 4,\\[4pt] -x + y + 2z = 0. \end{cases} $$

Su forma aumentada es:

1. Elimina \( x \) en la fila 2: $$ R2 \to R2 – 2R1 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right]. $$
2. Elimina \( x \) en la fila 3: $$ R3 \to R3 + R1 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right]. $$
3. Divide la fila 2 entre \(-5\): $$ R2 \to -\tfrac{1}{5} R2 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -\tfrac{2}{5} \\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right]. $$
4. Elimina \( y \) en la fila 3: $$ R3 \to R3 – 3R2. $$ Calcula la nueva fila 3:
   Los elementos de \( R3 \) serán: $$ 0,\; 3-3\cdot1=0,\; 1-3(-1)=1+3=4,\; 1-3(-\tfrac{2}{5})=1+\tfrac{6}{5}=\tfrac{11}{5}. $$ Así: $$ R3 = [0,\;0,\;4,\;\tfrac{11}{5}]. $$
5. Divide la fila 3 entre 4: $$ R3 \to \tfrac{1}{4}R3 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -\tfrac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{20} \end{array}\right]. $$
6. Elimina \( z \) en la fila 2: $$ R2 \to R2 + R3 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{2}{5}+\tfrac{11}{20} \\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{20} \end{array}\right]. $$ Calcula: \( -\tfrac{2}{5}+\tfrac{11}{20} = -\tfrac{8}{20}+\tfrac{11}{20} = \tfrac{3}{20}. \)
7. Elimina \( z \) en la fila 1: $$ R1 \to R1 + R3 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1+\tfrac{11}{20} \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{3}{20} \\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{20} \end{array}\right]. $$ Calcula: \( 1+\tfrac{11}{20} = \tfrac{31}{20}. \)
8. Elimina \( y \) en la fila 1 usando la fila 2: $$ R1 \to R1 – 2R2 \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{31}{20}-2\left(\tfrac{3}{20}\right) \\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{3}{20} \\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{11}{20} \end{array}\right]. $$ Calcula: \( \tfrac{31}{20}-\tfrac{6}{20} = \tfrac{25}{20} = \tfrac{5}{4}. \)

La solución del sistema es: $$ x = \tfrac{5}{4}, \quad y = \tfrac{3}{20}, \quad z = \tfrac{11}{20}. $$

3. Expresión Matricial y Métodos Alternativos

3.1 Resolución mediante la Matriz Inversa

Si un sistema se expresa en forma matricial \( A \cdot x = b \) y \( A \) es invertible, la solución se obtiene como: $$ x = A^{-1}\cdot b. $$

Ejemplo: Sea $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}. $$ Calcula: $$ \det(A)= 1\cdot(-2)-3\cdot1 = -2-3 = -5. $$

La inversa se obtiene: $$ A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} \\[4pt] \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}. $$

Entonces, la solución es: $$ x = A^{-1}\cdot b = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} \\[4pt] \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{2\cdot5+1\cdot4}{5} \\[4pt] \tfrac{3\cdot5-1\cdot4}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{14}{5} \\[4pt] \tfrac{11}{5} \end{pmatrix}. $$

3.2 Resolución por la Regla de Cramer

La Regla de Cramer se aplica a sistemas cuadrados con \(\det(A)\neq 0\). Para cada incógnita \( x_i \): $$ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, $$ donde \(A_i\) es la matriz que resulta al reemplazar la columna \(i\) de \(A\) por el vector \(b\).

Ejemplo 1 (Sistema 2×2): Sea el sistema: $$\begin{cases} x+y=5,\\[4pt] 3x-2y=4. \end{cases}$$ Con $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}. $$ Se calcula: $$ \det(A)= 1\cdot(-2)-3\cdot1=-5. $$ Para \( x \), se forma: $$ A_1 = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}, \quad \det(A_1)= 5\cdot(-2)-1\cdot4 = -10-4=-14, $$ de modo que: $$ x = \frac{-14}{-5} = \frac{14}{5}. $$ Para \( y \), se forma: $$ A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \det(A_2)= 1\cdot4-5\cdot3 = 4-15=-11, $$ de modo que: $$ y = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5}. $$

La solución es: $$ x=\frac{14}{5},\quad y=\frac{11}{5}. $$

Ejemplo 2 (Sistema 3×3 por la Regla de Cramer):

Considera el sistema: $$\begin{cases} x + 2y – z = 3,\\[4pt] 2x – y + z = 1,\\[4pt] 3x + y + 2z = 4. \end{cases}$$ La forma matricial es: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}. $$

Paso 1: Calcula el determinante de \(A\):
$$ \det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}. $$
Calcula cada sub-determinante:

• \( \det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = (-1)(2) – (1)(1) = -2 -1 = -3. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 2(2) – 1(3) = 4-3= 1. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2(1) – (-1)(3) = 2+3= 5. \)

Paso 2: Para \( x \), forma \( A_x \) reemplazando la primera columna de \(A\) por \(b\): $$ A_x = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}. $$
Calculemos:

• \( \det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = (-1)(2) – (1)(1) = -2-1 = -3. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 1\cdot2 – 1\cdot4 = 2-4 = -2. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 1\cdot1 – (-1)(4) = 1+4=5. \)

Paso 3: Para \( y \), forma \( A_y \) reemplazando la segunda columna por \(b\): $$ A_y = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}. $$
Se calcula:

• \( \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 1\cdot2 – 1\cdot4 = 2-4=-2. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 1\cdot2 – (-1)(3)= 2+3=5. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1\cdot4 – 3\cdot3=4-9=-5. \)

Paso 4: Para \( z \), forma \( A_z \) reemplazando la tercera columna por \(b\): $$ A_z = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}. $$
Calcula:

• \( \det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = (-1)(4) – 1(1)= -4-1=-5. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 2\cdot4-1\cdot3= 8-3=5. \)
• \( \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot1 – (-1)(3)= 2+3=5. \)

La solución del sistema 3×3 por la Regla de Cramer es: $$ x = 1,\quad y = \frac{6}{5},\quad z = 0. $$

4. Conclusión

En esta guía se han desarrollado de forma extensa los aspectos fundamentales de los sistemas de ecuaciones lineales:

• Repaso: Definiciones y ejemplos de ecuaciones lineales, sistemas 2×2, sistemas homogéneos y equivalentes.
• Resolución por Eliminación (Gauss-Jordan): Ejemplos resueltos de un sistema 2×2 y uno 3×3 con todos los pasos detallados.
• Métodos Alternativos: Resolución mediante la matriz inversa (ejemplo 2×2) y por la Regla de Cramer (ejemplo 2×2 y un ejemplo extra de 3×3).

Estos ejemplos amplios y detallados ofrecen a los estudiantes una base sólida para abordar problemas en álgebra lineal, ingeniería, y campos aplicados.