Ejercicio: Demostrar que \(\displaystyle \frac{1 – \sin^4(x)}{\cos^2(x)} = 2 – \cos^2(x).\)
Para esta igualdad, aprovecharemos la factorización de \(1 – \sin^4(x)\) como diferencia de cuadrados y la identidad fundamental \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).
\( \frac{1 – \sin^4(x)}{\cos^2(x)} = 2 – \cos^2(x) \)
Paso 1: Factorizar el numerador
Reconocemos la forma de diferencia de cuadrados en \(1 – \sin^4(x)\): \[ 1 – \sin^4(x) = \bigl(1 – \sin^2(x)\bigr)\bigl(1 + \sin^2(x)\bigr). \] Dado que \(1 – \sin^2(x) = \cos^2(x)\), el numerador se vuelve: \[ \bigl(\cos^2(x)\bigr)\bigl(1 + \sin^2(x)\bigr). \]
Paso 2: Simplificar la fracción
Sustituyendo en la fracción original: \[ \frac{1 – \sin^4(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)\,\bigl(1 + \sin^2(x)\bigr)}{\cos^2(x)}. \] El factor \(\cos^2(x)\) del numerador se cancela con el del denominador: \[ = 1 + \sin^2(x). \]
Paso 3: Usar la identidad \(\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)\)
Para expresar todo en función de \(\cos^2(x)\), reemplazamos \(\sin^2(x)\): \[ 1 + \sin^2(x) = 1 + \bigl(1 – \cos^2(x)\bigr) = 2 – \cos^2(x). \]
Resultado Final
\(\boxed{\frac{1 – \sin^4(x)}{\cos^2(x)} = 2 – \cos^2(x)}\)