Demostración: Identidad del Seno de una Suma/Diferencia
Fórmula a demostrar:
\[
\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b
\]
Paso 1: Fórmulas de Euler
\[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
\]
\[
e^{-i\theta} = \cos\theta – i\sin\theta
\]
Relaciones fundamentales entre exponenciales complejas y funciones trigonométricas.
Paso 2: Desarrollo de \(e^{i(a \pm b)}\)
\[
e^{i(a \pm b)} = e^{ia} \cdot e^{\pm ib}
\]
\[
= (\cos a + i\sin a)(\cos b \pm i\sin b)
\]
Aplicando propiedades de los exponentes complejos.
Paso 3: Multiplicación algebraica
\[
= \cos a \cos b \pm i\cos a \sin b + i\sin a \cos b \pm i^2 \sin a \sin b
\]
\[
= (\cos a \cos b \mp \sin a \sin b) + i(\sin a \cos b \pm \cos a \sin b)
\]
Agrupando términos reales e imaginarios (\(i^2 = -1\)).
Paso 4: Parte imaginaria
\[
\text{Im}(e^{i(a \pm b)}) = \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b
\]
Comparando con la forma polar de Euler: \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).
Paso 5: Casos específicos
\[
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
\[
\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b
\]
\(\boxed{\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b}\)