1. Simplificar \(\left( \frac{1}{32} \right)^{-0.6}\)

Paso 1: Eliminar el exponente negativo:

\[ \left( \frac{1}{32} \right)^{-0.6} = 32^{0.6} \]

Paso 2: Expresar 32 como \(2^5\):

\[ 32^{0.6} = (2^5)^{0.6} = 2^{3} = 8 \]

Resultado: \(\boxed{8}\)

2. Calcular \(\sqrt{4^{1.5}}\)

Paso 1: Simplificar \(4^{1.5}\):

\[ 4^{1.5} = 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^{3} = 8 \]

Paso 2: Aplicar raíz cuadrada:

\[ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Resultado: \(\boxed{2\sqrt{2}}\)

3. Multiplicar \(5^5 \times 8^6\)

Paso 1: Expresar 8 como \(2^3\):

\[ 8^6 = (2^3)^6 = 2^{18} \]

Paso 2: Combinar términos:

\[ 5^5 \times 2^{18} \]

Resultado: \(\boxed{5^5 \times 2^{18}}\)

4. Resolver \(500^2 – 499^2\)

Paso 1: Usar diferencia de cuadrados:

\[ 500^2 – 499^2 = (500-499)(500+499) = 1 \times 999 = 999 \]

Resultado: \(\boxed{999}\)

5. Simplificar \(\frac{14^2 – 28 + 2^2}{14^3 + 2^3}\)

Paso 1: Calcular el numerador

\[ 14^2 – 28 + 2^2 = 196 – 28 + 4 = 172 \]

Paso 2: Factorizar el denominador (suma de cubos)

\[ 14^3 + 2^3 = (14 + 2)(14^2 – 14 \cdot 2 + 2^2) = 16 \times (196 – 28 + 4) = 16 \times 172 \]

Paso 3: Simplificar la fracción

\[ \frac{172}{16 \times 172} = \frac{1}{16} \]

Resultado: \(\boxed{\dfrac{1}{16}}\)

6. Multiplicar \(0.4 \times 6.75 \times 0.25\)

Paso 1: Convertir a fracciones:

\[ 0.4 = \frac{2}{5}, \quad 6.75 = \frac{27}{4}, \quad 0.25 = \frac{1}{4} \]

Paso 2: Multiplicar:

\[ \frac{2}{5} \times \frac{27}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{54}{80} = 0.675 \]

Resultado: \(\boxed{0.675}\)

7. Simplificar \(\sqrt{2} + \sqrt{18} + \sqrt{50}\)

Paso 1: Simplificar raíces

\[ \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \quad \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Paso 2: Sumar términos semejantes

\[ \sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \]

Resultado: \(\boxed{9\sqrt{2}}\)

8. Simplificar \(\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} – \frac{1}{\sqrt{8}}\)

Paso 1: Racionalizar:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

Paso 2: Operar:

\[ \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{4} \]

Resultado: \(\boxed{\dfrac{5\sqrt{2}}{4}}\)

9. Simplificar \(\frac{16^{2.6}}{4^{3.7}}\)

Paso 1: Usar base 2:

\[ 16 = 2^4, \quad 4 = 2^2 \]

Paso 2: Simplificar exponentes:

\[ \frac{(2^4)^{2.6}}{(2^2)^{3.7}} = \frac{2^{10.4}}{2^{7.4}} = 2^{3} = 8 \]

Resultado: \(\boxed{8}\)

10. Simplificar \(\sqrt{5 – \sqrt{24}}\)

Paso 1: Simplificar \(\sqrt{24}\):

\[ \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Paso 2: Reescribir la expresión:

\[ \sqrt{5 – 2\sqrt{6}} \]

Paso 3: Suponer \(\sqrt{5 – 2\sqrt{6}} = \sqrt{a} – \sqrt{b}\):

\[ (\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 = a + b – 2\sqrt{ab} = 5 – 2\sqrt{6} \]

Paso 4: Resolver el sistema:

\[ \begin{cases} a + b = 5 \\ \sqrt{ab} = \sqrt{6} \implies ab = 6 \end{cases} \]

Solución: \(a = 3\), \(b = 2\).

Paso 5: Sustituir:

\[ \sqrt{5 – 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} – \sqrt{2} \]

Resultado: \(\boxed{\sqrt{3} – \sqrt{2}}\)

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