Ejercicio: Demostrar que \(\displaystyle \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{1 – \sin^2(x)}.\)
Esta identidad conecta la tangente con el seno, partiendo de la relación fundamental \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1.\)
\( \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{1 – \sin^2(x)} \)
Paso 1: Expresar la tangente en términos de seno y coseno
Recordamos que \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Por tanto, \[ \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}. \]
Paso 2: Usar la identidad fundamental \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
De la identidad pitagórica, \[ \cos^2(x) = 1 – \sin^2(x). \] Sustituyendo en la expresión de \(\tan^2(x)\): \[ \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{1 – \sin^2(x)}. \]
Resultado Final
\(\boxed{\tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{1 – \sin^2(x)}}\)