Para comprender a fondo las ecuaciones exponenciales, es crucial aprender a expresar todos los términos con la misma base. En la ecuación 27^(x-1)=3^(2x-5), reconocer que 27 es una potencia de 3 constituye la clave para transformarla en una ecuación mucho más simple. Este tipo de problemas ilustran cómo, al descomponer los números en potencias de un mismo factor, se pueden igualar exponentes y encontrar soluciones con un proceso más directo. A continuación, veremos paso a paso cómo aplicar esta estrategia de manera sistemática.
\( 27^{\,x-1} = 3^{\,2x-5} \)
Paso 1: Expresar en términos de la misma base
Observamos que 27 es una potencia de 3: \(27 = 3^3\). Por ello, podemos reescribir \(27^{\,x-1}\) de la siguiente forma:
\[ 27^{\,x-1} = \bigl(3^3\bigr)^{\,x-1} = 3^{\,3(x-1)}. \]
De este modo, la ecuación se convierte en:
\[ 3^{\,3(x-1)} = 3^{\,2x-5}. \]
Paso 2: Igualar exponentes
Dado que las bases son iguales (3) y diferentes de 1, podemos igualar los exponentes:
\[ 3(x – 1) = 2x – 5. \]
Expandiendo el lado izquierdo y luego despejando \(x\):
\[ 3x – 3 = 2x – 5 \quad \Longrightarrow \quad 3x – 2x = -5 + 3 \quad \Longrightarrow \quad x = -2. \]
Paso 3: Comprobación (opcional)
Sustituyendo \(x = -2\) en la ecuación original:
- Lado izquierdo: \[ 27^{\,(-2) – 1} = 27^{-3} = \bigl(3^3\bigr)^{-3} = 3^{-9}. \]
- Lado derecho: \[ 3^{\,2(-2) – 5} = 3^{-4 – 5} = 3^{-9}. \]
Ambos lados son iguales (\(3^{-9}\)), por lo que \(x = -2\) satisface la ecuación.
Resultado Final
La solución a la ecuación es:
\(x = -2\).