A continuación tienes una colección de 50 ejercicios de derivación completamente explicados y diseñados de en forma de dificultad creciente.
Ejercicio 1: Derivada de una función constante.
\( f(x) = c \)
Paso 1: Identificar la función
Tenemos \( f(x) = c \), donde \( c \) es una constante.
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
La derivada de una constante es 0.
\( f'(x) = 0 \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = 0}\)
Ejercicio 2: Derivada de una función potencia.
\( f(x) = x^n \)
Paso 1: Identificar la función
Sea \( f(x) = x^n \), donde \( n \) es un número real.
Paso 2: Aplicar la regla del poder
Usamos la regla: \(\frac{d}{dx} x^n = n\,x^{n-1}\).
\( f'(x) = n\,x^{n-1} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = n\,x^{n-1}}\)
Ejercicio 3: Derivada de la función exponencial.
\( f(x) = e^x \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = e^x \).
Paso 2: Aplicar la regla de la exponencial
La derivada de \( e^x \) es:
\( f'(x) = e^x \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = e^x}\)
Ejercicio 4: Derivada de la función seno.
\( f(x) = \sin(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \sin(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla del seno
La derivada de \( \sin(x) \) es:
\( f'(x) = \cos(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \cos(x)}\)
Ejercicio 5: Derivada de la función coseno.
\( f(x) = \cos(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \cos(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla del coseno
La derivada de \( \cos(x) \) es:
\( f'(x) = -\sin(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = -\sin(x)}\)
Ejercicio 6: Derivada de la función logarítmica.
\( f(x) = \ln(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \ln(x) \), definida para \( x > 0 \).
Paso 2: Aplicar la regla del logaritmo natural
La derivada de \( \ln(x) \) es:
\( f'(x) = \frac{1}{x} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{1}{x}}\)
Ejercicio 7: Derivada de una función exponencial de base constante.
\( f(x) = 2^x \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = 2^x \).
Paso 2: Aplicar la regla de derivación de \(a^x\)
La regla es: \(\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a)\). Para \( a = 2 \):
\( f'(x) = 2^x\ln(2) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = 2^x\ln(2)}\)
Ejercicio 8: Derivada de la función tangente.
\( f(x) = \tan(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \tan(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla para la tangente
La derivada de \( \tan(x) \) es:
\( f'(x) = \sec^2(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \sec^2(x)}\)
Ejercicio 9: Derivada de la función raíz cuadrada.
\( f(x) = \sqrt{x} \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \sqrt{x} \) como \( x^{\frac{1}{2}} \).
Paso 2: Aplicar la regla del poder
Usamos: \(\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}\) con \( n=\frac{1}{2} \).
\( f'(x) = \frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
Ejercicio 10: Derivada de la función \( f(x) = \frac{1}{x} \).
\( f(x) = \frac{1}{x} \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \frac{1}{x} \) como \( x^{-1} \).
Paso 2: Aplicar la regla del poder
Usamos la regla: \(\frac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}\) con \( n=-1 \).
\( f'(x) = -1\,x^{-2} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = -\frac{1}{x^2}}\)
Ejercicio 11: Derivada de la función arco tangente.
\( f(x) = \arctan(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \arctan(x) \), definida para todos los reales.
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
La derivada de \( \arctan(x) \) es:
\( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{1}{1+x^2}}\)
Ejercicio 12: Derivada de la función arco seno.
\( f(x) = \arcsin(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \arcsin(x) \), definida para \( -1 \le x \le 1 \).
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
La derivada de \( \arcsin(x) \) es:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
Ejercicio 13: Derivada de la función arco coseno.
\( f(x) = \arccos(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \arccos(x) \), definida para \( -1 \le x \le 1 \).
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
La derivada de \( \arccos(x) \) es:
\( f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
Ejercicio 14: Derivada de la función logarítmica de base \(a\).
\( f(x) = \log_a(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \log_a(x) \), con \( a>0 \) y \( a \neq 1 \).
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
Usamos la fórmula: \(\frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\,\ln(a)}\).
\( f'(x) = \frac{1}{x\,\ln(a)} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{1}{x\,\ln(a)}}\)
Ejercicio 15: Derivada de la función producto \( f(x) = x\cdot e^x \).
\( f(x) = x\,e^x \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = x\,e^x \).
Paso 2: Aplicar la regla del producto
Sea \( u(x)=x \) y \( v(x)=e^x \). Entonces:
- \( u'(x)=1 \)
- \( v'(x)=e^x \)
Aplicamos: \( f'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \).
\( f'(x)= 1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x(1+x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = e^x(1+x)}\)
Ejercicio 16: Derivada de la función producto \( f(x) = x\cdot \sin(x) \).
\( f(x) = x\,\sin(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = x\,\sin(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla del producto
Sea \( u(x)=x \) y \( v(x)=\sin(x) \). Entonces:
- \( u'(x)=1 \)
- \( v'(x)=\cos(x) \)
Por la regla del producto: \( f'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \).
\( f'(x)= \sin(x) + x\cos(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \sin(x) + x\cos(x)}\)
Ejercicio 17: Derivada de la función producto \( f(x) = x^2\cdot \cos(x) \).
\( f(x) = x^2\,\cos(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = x^2\,\cos(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla del producto
Sea \( u(x)=x^2 \) y \( v(x)=\cos(x) \). Entonces:
- \( u'(x)=2x \)
- \( v'(x)=-\sin(x) \)
Por la regla del producto: \( f'(x)= 2x\cos(x) + x^2(-\sin(x)) \).
\( f'(x)= 2x\cos(x) – x^2\sin(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = 2x\cos(x) – x^2\sin(x)}\)
Ejercicio 18: Derivada de la función compuesta \( f(x) = (3x+2)^4 \).
\( f(x) = (3x+2)^4 \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = (3x+2)^4 \), una función compuesta.
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
Sea \( u(x)=3x+2 \) y \( f(x)=u(x)^4 \). Entonces:
- \( u'(x)=3 \)
- \( \frac{d}{du} u^4 = 4u^3 \)
\( f'(x)= 4(3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3 \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = 12(3x+2)^3}\)
Ejercicio 19: Derivada de la función \( f(x) = \sqrt{1+x^2} \).
\( f(x) = \sqrt{1+x^2} \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \sqrt{1+x^2} \) como \( (1+x^2)^{\frac{1}{2}} \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena y del poder
Derivamos: \( f'(x)= \frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \).
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\)
Ejercicio 20: Derivada de la función \( f(x) = \ln(\sin(x)) \).
\( f(x) = \ln(\sin(x)) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \ln(\sin(x)) \), definida donde \( \sin(x) > 0 \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
Sea \( u(x)=\sin(x) \) y \( f(x)=\ln(u(x)) \). Entonces, \( u'(x)=\cos(x) \) y \( \frac{d}{du}\ln(u)=\frac{1}{u} \).
\( f'(x)= \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \cot(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \cot(x)}\)
Ejercicio 21: Derivada de la función secante.
\( f(x) = \sec(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \sec(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
La derivada de \( \sec(x) \) es:
\( f'(x) = \sec(x)\tan(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \sec(x)\tan(x)}\)
Ejercicio 22: Derivada de la función cosecante.
\( f(x) = \csc(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \csc(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
La derivada de \( \csc(x) \) es:
\( f'(x) = -\csc(x)\cot(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = -\csc(x)\cot(x)}\)
Ejercicio 23: Derivada de la función cotangente.
\( f(x) = \cot(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = \cot(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla de derivación
La derivada de \( \cot(x) \) es:
\( f'(x) = -\csc^2(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = -\csc^2(x)}\)
Ejercicio 24: Derivada de una función cociente.
\( f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \)
Paso 1: Identificar \(u(x)\) y \(v(x)\)
Sea \( u(x)=x^2+1 \) y \( v(x)=x-1 \). Sus derivadas son: \( u'(x)=2x \) y \( v'(x)=1 \).
Paso 2: Aplicar la regla del cociente
\( f'(x)= \frac{v(x)u'(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} = \frac{(x-1)(2x) – (x^2+1)(1)}{(x-1)^2} \)
Simplificando el numerador: \( 2x^2-2x – x^2 -1 = x^2-2x-1 \).
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}}\)
Ejercicio 25: Derivada de una función cociente.
\( f(x) = \frac{3x^2+2}{x+1} \)
Paso 1: Identificar \(u(x)\) y \(v(x)\)
Sea \( u(x)=3x^2+2 \) y \( v(x)=x+1 \). Entonces, \( u'(x)=6x \) y \( v'(x)=1 \).
Paso 2: Aplicar la regla del cociente
\( f'(x)= \frac{(x+1)(6x) – (3x^2+2)(1)}{(x+1)^2} \)
Simplificando el numerador: \( 6x^2+6x -3x^2-2 = 3x^2+6x-2 \).
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{3x^2+6x-2}{(x+1)^2}}\)
Ejercicio 26: Derivada de la función logarítmica compuesta.
\( f(x) = \ln(x^2+1) \)
Paso 1: Identificar la función interna
Sea \( u(x)=x^2+1 \) con \( u'(x)=2x \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)= \frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)= \frac{2x}{x^2+1} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}}\)
Ejercicio 27: Derivada de la función producto.
\( f(x) = e^{3x}\sin(x) \)
Paso 1: Identificar \(u(x)\) y \(v(x)\)
Sea \( u(x)=e^{3x} \) y \( v(x)=\sin(x) \). Entonces, \( u'(x)=3e^{3x} \) y \( v'(x)=\cos(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla del producto
\( f'(x)= u'(x)v(x)+ u(x)v'(x)= 3e^{3x}\sin(x)+ e^{3x}\cos(x) \)
Factorizamos: \( f'(x)= e^{3x}(3\sin(x)+\cos(x)) \).
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = e^{3x}(3\sin(x)+\cos(x))}\)
Ejercicio 28: Derivada de la función compuesta \( f(x) = (\ln x)^2 \).
\( f(x) = (\ln x)^2 \)
Paso 1: Identificar la función interna
Sea \( u(x)=\ln x \) con \( u'(x)=\frac{1}{x} \).
Paso 2: Aplicar la regla del poder y la cadena
\( f'(x)= 2u(x)\,u'(x)= 2\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{2\ln x}{x}}\)
Ejercicio 29: Derivada de la función compuesta \( f(x) = \arctan(x^2) \).
\( f(x) = \arctan(x^2) \)
Paso 1: Identificar la función interna
Sea \( u(x)=x^2 \) con \( u'(x)=2x \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)= \frac{1}{1+u(x)^2}\cdot u'(x)= \frac{2x}{1+(x^2)^2} = \frac{2x}{1+x^4} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = \frac{2x}{1+x^4}}\)
Ejercicio 30: Derivada de la función producto \( f(x) = x^3\ln(x) \).
\( f(x) = x^3\ln(x) \)
Paso 1: Identificar \(u(x)\) y \(v(x)\)
Sea \( u(x)=x^3 \) y \( v(x)=\ln(x) \). Entonces, \( u'(x)=3x^2 \) y \( v'(x)=\frac{1}{x} \).
Paso 2: Aplicar la regla del producto
\( f'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)= 3x^2\ln(x) + x^3\cdot\frac{1}{x} \)
Simplificando: \( f'(x)= 3x^2\ln(x) + x^2 = x^2(3\ln(x)+1) \).
Resultado Final
\(\boxed{f'(x) = x^2(3\ln(x)+1)}\)
Ejercicio 31: Derivada de la función \( f(x) = e^{2x}\cos(x) \).
\( f(x) = e^{2x}\cos(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función es \( f(x) = e^{2x}\cos(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla del producto
Sea \( u(x)=e^{2x} \) y \( v(x)=\cos(x) \). Entonces:
- \( u'(x)=2e^{2x} \) (por la regla de la cadena).
- \( v'(x)=-\sin(x) \).
\( f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2e^{2x}\cos(x)-e^{2x}\sin(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=e^{2x}\Bigl(2\cos(x)-\sin(x)\Bigr)}\)
Ejercicio 32: Derivada de la función \( f(x) = \ln(1+x^2) \).
\( f(x) = \ln(1+x^2) \)
Paso 1: Identificar la función interna
Sea \( u(x)=1+x^2 \) con \( u'(x)=2x \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)= \frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{1+x^2} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}}\)
Ejercicio 33: Derivada de la función \( f(x) = (2x-1)^7 \).
\( f(x) = (2x-1)^7 \)
Paso 1: Identificar la función interna
Sea \( u(x)=2x-1 \) con \( u'(x)=2 \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)=7(2x-1)^6\cdot2=14(2x-1)^6 \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=14(2x-1)^6}\)
Ejercicio 34: Derivada de la función \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x}} \).
\( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x}} \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \sqrt{1+x} \) como \( (1+x)^{\frac{1}{2}} \).
Paso 2: Aplicar la regla del cociente
Sea \( u(x)=x \) y \( v(x)=(1+x)^{\frac{1}{2}} \) con \( u'(x)=1 \) y \( v'(x)=\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} \).
\( f'(x)= \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}-x\cdot\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}}{(1+x)} \)
Simplificando el numerador con denominador común:
\( \frac{2(1+x)-x}{2(1+x)^{\frac{1}{2}}} = \frac{x+2}{2\sqrt{1+x}} \)
Y dividiendo por \( (1+x) \): \( f'(x)= \frac{x+2}{2(1+x)^{\frac{3}{2}}} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=\frac{x+2}{2(1+x)^{\frac{3}{2}}}}\)
Ejercicio 35: Derivada de la función \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \).
\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)
Paso 1: Identificar \(u(x)\) y \(v(x)\)
Sea \( u(x)=\sin(x) \) con \( u'(x)=\cos(x) \) y \( v(x)=x \) con \( v'(x)=1 \).
Paso 2: Aplicar la regla del cociente
\( f'(x)= \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}}\)
Ejercicio 36: Derivada de la función \( f(x) = \cos^2(x)\sin(x) \).
\( f(x) = \cos^2(x)\sin(x) \)
Paso 1: Identificar la función
La función se puede ver como el producto de \( u(x)=\cos^2(x) \) y \( v(x)=\sin(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla del producto
Derivamos \( u(x)=\cos^2(x) \) usando la cadena: \( u'(x)=2\cos(x)(-\sin(x))=-2\cos(x)\sin(x) \). Además, \( v'(x)=\cos(x) \).
\( f'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)= -2\cos(x)\sin(x)\sin(x)+ \cos^2(x)\cos(x) \)
\( f'(x)= -2\cos(x)\sin^2(x)+\cos^3(x)= \cos(x)[\cos^2(x)-2\sin^2(x)] \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=\cos(x)\bigl(\cos^2(x)-2\sin^2(x)\bigr)}\)
Ejercicio 37: Derivada de la función \( f(x) = \tan(x^2) \).
\( f(x) = \tan(x^2) \)
Paso 1: Identificar la función interna
Sea \( u(x)=x^2 \) con \( u'(x)=2x \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)=\sec^2(u(x))\cdot u'(x)= \sec^2(x^2)\cdot 2x \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=2x\sec^2(x^2)}\)
Ejercicio 38: Derivada de la función \( f(x) = \ln(\sin(x)+\cos(x)) \).
\( f(x) = \ln(\sin(x)+\cos(x)) \)
Paso 1: Identificar la función interna
Sea \( u(x)=\sin(x)+\cos(x) \) con \( u'(x)=\cos(x)-\sin(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}= \frac{\cos(x)-\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\sin(x)+\cos(x)}}\)
Ejercicio 39: Derivada de la función \( f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} \).
\( f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1} \)
Paso 1: Identificar \( u(x) \) y \( v(x) \)
Sea \( u(x)=x^2-1 \) con \( u'(x)=2x \) y \( v(x)=x^2+1 \) con \( v'(x)=2x \).
Paso 2: Aplicar la regla del cociente
\( f'(x)=\frac{v(x)u'(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \)
\( =\frac{(x^2+1)(2x) – (x^2-1)(2x)}{(x^2+1)^2} \)
Simplificando el numerador: \( 2x[(x^2+1)-(x^2-1)] = 2x(2)=4x \).
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}}\)
Ejercicio 40: Derivada de la función \( f(x) = \sqrt{1+e^x} \).
\( f(x) = \sqrt{1+e^x} \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \sqrt{1+e^x} \) como \( (1+e^x)^{\frac{1}{2}} \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
Sea \( u(x)=1+e^x \) con \( u'(x)=e^x \). Entonces:
\( f'(x)= \frac{1}{2}(1+e^x)^{-\frac{1}{2}}\cdot e^x \)
\( =\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)=\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}}\)
Ejercicio 41: Derivada de la función \( f(x) = \cos(x)\ln(x) \).
\( f(x) = \cos(x)\ln(x) \)
Paso 1: Identificar las funciones
Sea \( u(x)=\cos(x) \) y \( v(x)=\ln(x) \).
Paso 2: Calcular las derivadas
\( u'(x)=-\sin(x) \) y \( v'(x)=\frac{1}{x} \).
Paso 3: Aplicar la regla del producto
\( f'(x)= u'(x)v(x)+ u(x)v'(x)= -\sin(x)\ln(x)+\frac{\cos(x)}{x} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= -\sin(x)\ln(x)+\frac{\cos(x)}{x}}\)
Ejercicio 42: Derivada de la función \( f(x) = \sin(\ln(x)) \).
\( f(x) = \sin(\ln(x)) \)
Paso 1: Función interna
Sea \( u(x)=\ln(x) \) con \( u'(x)=\frac{1}{x} \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x)= \cos(\ln(x))\cdot\frac{1}{x} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= \frac{\cos(\ln(x))}{x}}\)
Ejercicio 43: Derivada de la función \( f(x) = e^{\tan(x)} \).
\( f(x) = e^{\tan(x)} \)
Paso 1: Función interna
Sea \( u(x)=\tan(x) \) con \( u'(x)=\sec^2(x) \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)= e^{\tan(x)}\cdot\sec^2(x) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= e^{\tan(x)}\sec^2(x)}\)
Ejercicio 44: Derivada de la función \( f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} \).
\( f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( f(x) = (1+e^{-x})^{-1} \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
Sea \( u(x)=1+e^{-x} \) con \( u'(x)=-e^{-x} \). Entonces:
\( f'(x)= -1\cdot u(x)^{-2}\cdot u'(x)= \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}}\)
Ejercicio 45: Derivada de la función \( f(x) = \sqrt{3x^2-2x+1} \).
\( f(x) = (3x^2-2x+1)^{\frac{1}{2}} \)
Paso 1: Función interna
Sea \( u(x)=3x^2-2x+1 \) con \( u'(x)=6x-2 \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)= \frac{1}{2}(3x^2-2x+1)^{-\frac{1}{2}}(6x-2) \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= \frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}}\)
Ejercicio 46: Derivada de la función \( f(x) = \arcsin(2x) \).
\( f(x) = \arcsin(2x) \)
Paso 1: Función interna
Sea \( u(x)=2x \) con \( u'(x)=2 \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)= \frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}= \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}\)
Ejercicio 47: Derivada de la función \( f(x) = \arctan(\sqrt{x}) \).
\( f(x) = \arctan(\sqrt{x}) \)
Paso 1: Función interna
Sea \( u(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \) con \( u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Paso 2: Aplicar la regla de la cadena
\( f'(x)= \frac{u'(x)}{1+u(x)^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1+x}=\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}}\)
Ejercicio 48: Derivada de la función \( f(x) = (\ln(x))^3 \).
\( f(x) = (\ln(x))^3 \)
Paso 1: Función interna
Sea \( u(x)=\ln(x) \) con \( u'(x)=\frac{1}{x} \).
Paso 2: Aplicar la regla del poder y la cadena
\( f'(x)= 3u(x)^2\cdot u'(x)= 3(\ln(x))^2\cdot\frac{1}{x}=\frac{3(\ln(x))^2}{x} \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= \frac{3(\ln(x))^2}{x}}\)
Ejercicio 49: Derivada de la función \( f(x) = \frac{x^2+e^x}{x-2} \).
\( f(x) = \frac{x^2+e^x}{x-2} \)
Paso 1: Identificar \( u(x) \) y \( v(x) \)
Sea \( u(x)=x^2+e^x \) con \( u'(x)=2x+e^x \) y \( v(x)=x-2 \) con \( v'(x)=1 \).
Paso 2: Aplicar la regla del cociente
\( f'(x)= \frac{(x-2)(2x+e^x) – (x^2+e^x)(1)}{(x-2)^2} \)
Simplificando el numerador: \[ (x-2)(2x+e^x) – (x^2+e^x)= [2x^2+xe^x-4x-2e^x]-x^2-e^x= x^2+xe^x-4x-3e^x. \]
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= \frac{x^2+xe^x-4x-3e^x}{(x-2)^2}}\)
Ejercicio 50: Derivada de la función \( f(x) = x\cos(x)e^x \).
\( f(x) = x\cos(x)e^x \)
Paso 1: Identificar las funciones
Se considera el producto de \( u(x)=x \), \( v(x)=\cos(x) \) y \( w(x)=e^x \).
Paso 2: Calcular las derivadas
\( u'(x)=1 \), \( v'(x)=-\sin(x) \) y \( w'(x)=e^x \).
Paso 3: Aplicar la regla del producto para tres funciones
\( f'(x)= u'(x)v(x)w(x)+ u(x)v'(x)w(x)+ u(x)v(x)w'(x) \)
\( = 1\cdot\cos(x)e^x+ x\cdot(-\sin(x))e^x+ x\cdot\cos(x)e^x \)
Factorizando \( e^x \):
\( f'(x)= e^x\Bigl[\cos(x)- x\sin(x)+ x\cos(x)\Bigr] \)
Resultado Final
\(\boxed{f'(x)= e^x\Bigl[(1+x)\cos(x)- x\sin(x)\Bigr]}\)
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