Formato PDF de los 10 problemas de geometría
Ejercicio 1: Distancia entre dos puntos
Enunciado: Calcular la distancia entre \(A(2,1)\) y \(B(4,3)\).
Teoría Básica
La distancia euclidiana entre dos puntos en el plano cartesiano se calcula mediante el teorema de Pitágoras:
\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \]Esta fórmula mide la longitud del segmento rectilíneo que une ambos puntos.
Solución
\[ d = \sqrt{(4-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ \boxed{2\sqrt{2}} \]Ejercicio 2: Punto medio de un segmento
Enunciado: Hallar el punto medio del segmento \(\overline{AB}\) con \(A(2,1)\) y \(B(4,3)\).
Teoría Básica
El punto medio es el promedio de las coordenadas de los extremos:
\[ M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \]Geométricamente, es el centro de gravedad del segmento.
Solución
\[ M = \left(\frac{2+4}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (3,2) \] \[ \boxed{M = (3,2)} \]Ejercicio 3: Ecuación de recta por dos puntos
Enunciado: Hallar la ecuación de la recta que pasa por \(A(2,1)\) y \(B(4,3)\).
Teoría Básica
La pendiente (\(m\)) entre dos puntos determina la inclinación de la recta:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]Conocida la pendiente, usamos la forma punto-pendiente:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]Solución
\[ m = \frac{3-1}{4-2} = 1 \Rightarrow y = x – 1 \] \[ \boxed{y = x – 1} \]Ejercicio 4: Recta con punto y vector dirección
Enunciado: Hallar la ecuación de la recta que pasa por \(P(1,2)\) con vector dirección \(\vec{v}=(2,3)\).
Teoría Básica
La forma paramétrica expresa las coordenadas en función de un parámetro \(t\):
\[ \begin{cases} x = x_0 + v_x t \\ y = y_0 + v_y t \end{cases} \]Convertir a forma cartesiana: despejar \(t\) e igualar.
Solución
\[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \end{cases} \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \] \[ \boxed{y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}} \]Ejercicio 5: Distancia de un punto a una recta
Enunciado: Calcular la distancia de \(P(1,3)\) a \(2x + 3y – 5 = 0\).
Teoría Básica
La fórmula de distancia punto-recta mide la mínima distancia perpendicular:
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]Donde \(ax + by + c = 0\) es la ecuación general de la recta.
Solución
\[ d = \frac{|2(1) + 3(3) – 5|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \] \[ \boxed{\frac{6}{\sqrt{13}}} \]Ejercicio 6: Distancia entre rectas paralelas
Enunciado: Calcular la distancia entre \(2x + 3y – 5 = 0\) y \(2x + 3y + 2 = 0\).
Teoría Básica
Para rectas paralelas \(ax + by + c_1 = 0\) y \(ax + by + c_2 = 0\):
\[ d = \frac{|c_1 – c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]Requiere que ambas rectas estén en la misma forma general.
Solución
\[ d = \frac{|-5 – 2|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \] \[ \boxed{\frac{7}{\sqrt{13}}} \]Ejercicio 7: Recta perpendicular
Enunciado: Hallar la recta perpendicular a \(2x + 3y = 4\) que pasa por \(P(1,2)\).
Teoría Básica
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\):
\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \]Primero se despeja la pendiente de la recta original.
Solución
\[ m_1 = -\frac{2}{3} \Rightarrow m_2 = \frac{3}{2} \] \[ y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \] \[ \boxed{y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}} \]Ejercicio 8: Mediatriz de un segmento
Enunciado: Encontrar la mediatriz del segmento con extremos \(A(2,1)\) y \(B(4,3)\).
Teoría Básica
La mediatriz es el conjunto de puntos equidistantes de ambos extremos:
- Hallar punto medio
- Calcular pendiente perpendicular
- Usar forma punto-pendiente
Solución
\[ M(3,2), \ m = -1 \Rightarrow y = -x + 5 \] \[ \boxed{y = -x + 5} \]Ejercicio 9: Bisectrices de dos rectas
Enunciado: Hallar bisectrices de \(x – 2y = 0\) y \(x + 2y = 0\).
Teoría Básica
Las bisectrices cumplen:
\[ \frac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \]Para rectas que pasan por el origen, las bisectrices son los ejes coordenados.
Solución
\[ \frac{x – 2y}{\sqrt{5}} = \pm \frac{x + 2y}{\sqrt{5}} \] \[ \boxed{x = 0 \ \text{y} \ y = 0} \]Ejercicio 10: Recta paralela
Enunciado: Hallar la recta paralela a \(x + 2y = 5\) que pasa por \((1,-1)\).
Teoría Básica
Rectas paralelas comparten la misma pendiente:
\[ m_1 = m_2 \]Se mantienen siempre equidistantes y nunca se intersectan.
Solución
\[ m = -\frac{1}{2} \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x – \frac{1}{2} \] \[ \boxed{y = -\frac{1}{2}x – \frac{1}{2}} \]Conclusión Final
Dominando estos 10 ejercicios fundamentales con su teoría asociada, estarás preparado para abordar problemas más complejos de geometría analítica y sus aplicaciones en física e ingeniería.
Examen de Geometría Analítica Plana
A continuación te dejo un examen, también de 10 ejercicios, para que te pongas a prueba
Problema 1: Distancia entre dos puntos
Enunciado: Calcula la distancia entre los puntos \(A(-1, 4)\) y \(B(3, -2)\).
Problema 2: Punto medio
Enunciado: Halla el punto medio del segmento \(\overline{AB}\) si \(A(0, 5)\) y \(B(6, -3)\).
Problema 3: Ecuación de recta por dos puntos
Enunciado: Determina la ecuación de la recta que pasa por \(P(2, -1)\) y \(Q(4, 7)\).
Problema 4: Recta con vector dirección
Enunciado: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por \((-3, 2)\) y tiene vector dirección \(\vec{v} = (4, -1)\).
Problema 5: Distancia de un punto a una recta
Enunciado: Calcula la distancia del punto \(P(3, -2)\) a la recta \(5x + 12y – 20 = 0\).
Problema 6: Rectas paralelas
Enunciado: ¿Cuál es la distancia entre las rectas paralelas \(3x – 4y + 6 = 0\) y \(3x – 4y – 9 = 0\)?
Problema 7: Recta perpendicular
Enunciado: Halla la ecuación de la recta perpendicular a \(2x + 7y = 14\) que pasa por el origen.
Problema 8: Mediatriz
Enunciado: Encuentra la mediatriz del segmento cuyos extremos son \(C(-2, 3)\) y \(D(4, -5)\).
Problema 9: Bisectrices
Enunciado: Determina las bisectrices de las rectas \(x + y = 0\) y \(x – y = 0\).
Problema 10: Recta paralela
Enunciado: Escribe la ecuación de la recta paralela a \(6x – 3y = 9\) que pasa por \((1, -4)\).
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