Esta ecuación, (1/2)^(x-2) = 32^x, es un claro ejemplo de ecuación exponencial en la que la variable x aparece en los exponentes de ambas bases. Para resolverla, se recurre a la idea de expresar dichas bases como potencias de un mismo número —en este caso, 2— y, posteriormente, aprovechar la propiedad que permite igualar los exponentes cuando las bases son iguales y diferentes de 1. De esta manera, el problema se reduce a una sencilla ecuación lineal en xxx. A continuación, se presenta el procedimiento detallado para encontrar la solución.
\(\displaystyle \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x-2} = 32^x\)
Paso 1: Expresar ambas bases como potencias de 2
Observamos que \(\tfrac{1}{2} = 2^{-1}\) y \(32 = 2^5\). Por lo tanto, reescribimos la ecuación:
\[ \left(2^{-1}\right)^{x-2} = \left(2^5\right)^x. \]Simplificando las potencias:
\[ 2^{-1(x-2)} = 2^{5x}. \]Esto se convierte en:
\[ 2^{-x+2} = 2^{5x}. \]Paso 2: Igualar exponentes
Dado que las bases (2) son iguales y no son 1 ni 0, podemos igualar directamente los exponentes:
\[ -x + 2 = 5x. \]Despejando \(x\):
\[ 2 = 5x + x = 6x \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]Comprobación rápida (opcional)
Sustituyendo \(x = \tfrac{1}{3}\) en ambos lados:
- Lado izquierdo: \[ \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\tfrac{1}{3}-2} = \left(2^{-1}\right)^{-\tfrac{5}{3}} = 2^{\tfrac{5}{3}}. \]
- Lado derecho: \[ 32^{\tfrac{1}{3}} = (2^5)^{\tfrac{1}{3}} = 2^{\tfrac{5}{3}}. \]
Ambos coinciden, por lo que \(x = \tfrac{1}{3}\) es la solución correcta.
Resultado Final
La solución a la ecuación es:
\[ \boxed{x = \frac{1}{3}}. \]