Ejercicio: Demostrar que
\(\displaystyle \frac{\sin(4x) + \sin(2x)}{\cos(4x) + \cos(2x)} = \tan(3x)\)
Usaremos diferentes métodos para demostrar esta identidad trigonométrica.
Tres Métodos de Resolución
Método 1: Identidades Sumatorias
Paso 1: Suma de Senos
\[
\sin(4x) + \sin(2x) = 2\sin(3x)\cos(x)
\]
Aplicamos la identidad: \(\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})\)
Paso 2: Suma de Cosenos
\[
\cos(4x) + \cos(2x) = 2\cos(3x)\cos(x)
\]
Usamos: \(\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})\)
Paso 3: Simplificación
\[
\frac{2\sin(3x)\cos(x)}{2\cos(3x)\cos(x)} = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} = \tan(3x)
\]
\(\boxed{\frac{\sin(4x)+\sin(2x)}{\cos(4x)+\cos(2x)} = \tan(3x)}\)
Método 2: Exponenciales Complejos
Paso 1: Fórmulas de Euler
\[
\sin\theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i} \quad ; \quad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}
\]
Estas son las relaciones fundamentales entre funciones trigonométricas y exponenciales complejas.
Paso 2: Expresión de las sumas
\[
\sin(4x) + \sin(2x) = \frac{e^{i4x} – e^{-i4x}}{2i} + \frac{e^{i2x} – e^{-i2x}}{2i}
\]
\[
\cos(4x) + \cos(2x) = \frac{e^{i4x} + e^{-i4x}}{2} + \frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}
\]
Paso 3: Factorización común
\[
= \frac{e^{i3x}}{2i}\left(e^{ix} – e^{-ix} + e^{-ix} – e^{-i3x}\right)
\]
\[
= \frac{e^{i3x}}{2}\left(e^{ix} + e^{-ix} + e^{-ix} + e^{-i3x}\right)
\]
Simplificando usando identidades de exponenciales:
\[
\sin(4x) + \sin(2x) = 2\cos(x)\sin(3x)
\]
\[
\cos(4x) + \cos(2x) = 2\cos(x)\cos(3x)
\]
Paso 4: División final
\[
\frac{2\cos(x)\sin(3x)}{2\cos(x)\cos(3x)} = \tan(3x)
\]
\(\boxed{\frac{\sin(4x)+\sin(2x)}{\cos(4x)+\cos(2x)} = \tan(3x)}\)
Método 3: Ángulos Compuestos
Paso 1: Descomposición angular
\[
\sin(4x) = \sin(3x + x) = \sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x
\]
\[
\sin(2x) = \sin(3x – x) = \sin 3x \cos x – \cos 3x \sin x
\]
Usando la identidad para suma/resta de ángulos: \(\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)
Paso 2: Suma de senos
\[
\sin 4x + \sin 2x = (\sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x) + (\sin 3x \cos x – \cos 3x \sin x)
\]
\[
= 2 \sin 3x \cos x
\]
Paso 3: Suma de cosenos
\[
\cos 4x = \cos(3x + x) = \cos 3x \cos x – \sin 3x \sin x
\]
\[
\cos 2x = \cos(3x – x) = \cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x
\]
\[
\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos 3x \cos x
\]
Paso 4: Simplificación final
\[
\frac{2 \sin 3x \cos x}{2 \cos 3x \cos x} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x
\]
\(\boxed{\frac{\sin(4x)+\sin(2x)}{\cos(4x)+\cos(2x)} = \tan(3x)}\)