Método 1: Resolución usando forma polar

La ecuación \(x^6 = 64\) corresponde a las raíces sextas de 64. Primero, expresamos 64 en forma polar:

\[ 64 = 64 \, \text{cis}(0°) = 64\left(\cos 0° + i \sin 0°\right) \]

Aplicando la fórmula de raíces n-ésimas: \[ x_k = \sqrt[6]{64} \, \text{cis}\left(\frac{0°+360°k}{6}\right),\quad k=0,1,2,3,4,5 \] Como \(\sqrt[6]{64}=2\), se tiene: \[ x_k = 2\, \text{cis}(60°k) \]

Cálculo de raíces:

• \(k=0:\) \(x_0=2\,\text{cis}(0°)=2\)
• \(k=1:\) \(x_1=2\,\text{cis}(60°)=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}\)
• \(k=2:\) \(x_2=2\,\text{cis}(120°)=2\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}\)
• \(k=3:\) \(x_3=2\,\text{cis}(180°)=-2\)
• \(k=4:\) \(x_4=2\,\text{cis}(240°)=2\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1-i\sqrt{3}\)
• \(k=5:\) \(x_5=2\,\text{cis}(300°)=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-i\sqrt{3}\)

Así, las soluciones obtenidas son: \[ \boxed{ \begin{aligned} x &= \pm 2,\\[4mm] x &= 1\pm i\sqrt{3},\\[4mm] x &= -1\pm i\sqrt{3} \end{aligned} } \]

Método 2: Resolución por factorización

Partimos de la ecuación: \[ x^6-64=0 \] y observamos que se puede expresar como diferencia de cuadrados: \[ x^6-64=(x^3)^2-8^2=(x^3-8)(x^3+8) \]

Factorizamos cada término usando la diferencia y suma de cubos:

• Diferencia de cubos: \[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) \]
• Suma de cubos: \[ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) \]

La factorización completa es: \[ x^6-64=(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)=0 \]

Igualamos cada factor a cero:

• \(x-2=0\) ⟹ \(x=2\)
• \(x+2=0\) ⟹ \(x=-2\)
• \(x^2+2x+4=0\) ⟹ \(x=\frac{-2\pm\sqrt{4-16}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}\)
• \(x^2-2x+4=0\) ⟹ \(x=\frac{2\pm\sqrt{4-16}}{2}=1\pm i\sqrt{3}\)

Por ello, se confirma que las soluciones son: \[ \boxed{ \begin{aligned} x &= \pm 2,\\[4mm] x &= 1\pm i\sqrt{3},\\[4mm] x &= -1\pm i\sqrt{3} \end{aligned} } \]

Representación Gráfica en el Plano de Argand

Las raíces se distribuyen formando un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 2.

Soluciones Finales

\[ \boxed{ \begin{aligned} x &= \pm 2,\\[4mm] x &= 1\pm i\sqrt{3},\\[4mm] x &= -1\pm i\sqrt{3} \end{aligned} } \]

* Todas las soluciones verifican \(x^6=64\).