Qué significa derivar

Ejercicio 1: ¿Qué es la derivada? Primera mirada

Planteamiento: Un objeto se mueve siguiendo la ley posición-tiempo \[ s(t) = t^2 \quad (\text{en metros}), \] donde \( t \) es el tiempo en segundos. Queremos saber: ¿cuál es la velocidad exacta en el instante \( t=4 \) segundos?

Reflexión inicial: Velocidad instantánea es la rapidez en un punto concreto del tiempo, y se obtiene usando la derivada. La velocidad media entre \( t=a \) y \( t=b \) no basta: necesitamos la velocidad «justo en \( t=4 \)».

Solución paso a paso:

1. Reconocer la función: \( s(t) = t^2 \).
   Esta describe cómo cambia la posición con el tiempo.
2. Definir la velocidad como la derivada de la posición: \[ v(t) = s'(t). \] Esto es un principio fundamental en física: la derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad.
3. Derivar: \[ s'(t) = \frac{d}{dt} \bigl( t^2 \bigr) = 2t. \] Aquí aplicamos la regla general: \(\frac{d}{dt}(t^n) = n \cdot t^{n-1}\).
4. Evaluar en \( t=4 \): \[ v(4) = 2 \times 4 = 8. \]

Interpretación: A los 4 segundos, el objeto se mueve a \( 8 \,\text{m/s} \). Esa es su velocidad puntual o instantánea.

Resultado: \(\boxed{8\, \text{m/s}}\)

Ejercicio 2: Pendiente en un punto concreto

Planteamiento: ¿Cuál es la pendiente de la curva \( y = x^2 \) cuando \( x=1 \)?

Reflexión: La derivada de \( y \) con respecto a \( x \) es la pendiente de la recta tangente. Si la derivada es grande, la curva sube rápidamente; si la derivada es pequeña, la curva sube con menor inclinación.

Solución paso a paso:

1. Identificar la función: \( y = x^2 \).
2. Derivar: \[ \frac{dy}{dx} = 2x. \]
3. Evaluar en \( x=1 \): \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1} = 2(1) = 2. \]

Interpretación: En \( x=1 \), la pendiente es 2. Esto significa que, en ese punto, por cada 1 unidad que avanzas horizontalmente, la función sube 2 verticalmente.

Resultado: \(\boxed{2}\)

Ejercicio 3: La derivada nos dice si sube o baja

Planteamiento: Analiza si la función \[ f(x) = -x^2 + 4x \] crece o decrece en \( x=1 \) y en \( x=3 \).

Reflexión: Si \( f'(x) > 0 \), la función crece en ese punto. Si \( f'(x) < 0 \), decrece. Si \( f'(x)=0 \), podría ser un máximo, mínimo o punto de inflexión.

Solución paso a paso:

1. Derivar la función: \[ f(x) = -x^2 + 4x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -2x +4. \]
2. Evaluar en \( x=1 \): \[ f'(1) = -2(1) +4 = 2. \] Es positivo, así que en \( x=1 \) la función está creciendo.
3. Evaluar en \( x=3 \): \[ f'(3) = -2(3) +4= -6 +4= -2. \] Es negativo, así que en \( x=3 \) la función decrece.

Interpretación: La derivada nos indica cómo se comporta la función en cada punto. «Está subiendo» (derivada positiva) o «está bajando» (derivada negativa).

Ejercicio 4: La derivada como tasa de cambio real

Planteamiento: La longitud de una bacteria crece según \[ S(t) = 3t^2 \] micrómetros (µm). ¿A qué ritmo (tasa de crecimiento) se incrementa su longitud cuando han pasado \( 5 \) horas?

Reflexión: La derivada \(\frac{dS}{dt}\) nos da cuántos micrómetros por hora está creciendo justo en un momento concreto.

Solución paso a paso:

1. Derivar con respecto al tiempo: \[ S(t) = 3t^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{dS}{dt} = 6t. \]
2. Evaluar en \( t=5 \): \[ S'(5) = 6(5) = 30. \]

Interpretación: A las 5 horas, la bacteria crece a razón de 30 micrómetros por hora. Esto no significa que la bacteria haya ganado 30 micrómetros en esa hora exacta, sino que en ese preciso instante la velocidad de crecimiento es de 30 µm/h.

Resultado: \(\boxed{30\, \mu \text{m/h}}\)

Ejercicio 5: ¿Qué pasa cuando la derivada vale cero?

Planteamiento: La función \[ f(x) = -x^2 + 4x \] tiene su derivada nula en cierto punto. ¿Qué significa eso?

Reflexión: Si la derivada es cero, la pendiente es nula. Esto generalmente implica:

• Un máximo local (una cima).
• Un mínimo local (un valle).
• Un punto de inflexión (cambia la curvatura).

Para diferenciar entre estas opciones, solemos usar la segunda derivada.

Solución paso a paso:

1. Derivar: \[ f'(x) = -2x +4. \]
2. Resolver \( f'(x)=0 \): \[ -2x +4=0 \quad \Rightarrow \quad x=2. \]
3. Examinar la segunda derivada: \[ f»(x)= -2. \] Como es negativa, la función está curvada hacia abajo (cóncava), así que \( x=2 \) es un máximo.
4. Evaluar la función en \( x=2 \): \[ f(2)= -4 +8=4. \]

Interpretación: En \( x=2 \) la curva se aplana y cambia de crecer a decrecer, indicando un máximo local.

Resultado: \( \boxed{x=2 \text{ es el máximo, y } f(2)=4} \)

Ejercicio 6: Relación entre pendiente y crecimiento

Planteamiento: Analiza si la función \[ f(x) = x^3 – 3x \] está creciendo o decreciendo en \( x=1 \) y en \( x=2 \).

Reflexión: Recuerda: derivada > 0 → la función crece, derivada < 0 → la función decrece, derivada = 0 → pendiente horizontal (máximo, mínimo o inflexión).

Solución paso a paso:

1. Derivar: \[ f'(x) = 3x^2 -3. \]
2. Evaluar en \( x=1 \): \[ f'(1)= 3(1)^2 -3=3 -3=0. \] La pendiente es cero. Podría ser un máximo, mínimo o un punto de cambio de concavidad.
3. Evaluar en \( x=2 \): \[ f'(2)= 3(4) -3= 12 -3=9 \, (>0). \] Es positiva, así que en \( x=2 \) está creciendo.

Interpretación: – En \( x=1 \), la función tiene pendiente nula. – En \( x=2 \), la función sube.

Ejercicio 7: Velocidad instantánea de un ciclista

Planteamiento: Un ciclista recorre una ruta de acuerdo a \[ s(t)= 5t^2 – t \] metros. ¿Cuál es su velocidad en el instante \( t=3 \) segundos?

Reflexión: De nuevo, queremos velocidad instantánea, no promedio. Velocidad = derivada de la posición.

Solución paso a paso:

1. Derivar: \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(5t^2 – t) = 10t -1. \]
2. Evaluar en \( t=3 \): \[ s'(3)= 10(3) -1= 30 -1=29. \]

Interpretación: En ese instante, el ciclista va a \( 29 \,\text{m/s}\). Bastante rápido, de hecho.

Resultado: \(\boxed{29\, \text{m/s}}\)

Ejercicio 8: Puntos donde la tangente es horizontal

Planteamiento: Determina los puntos donde la función \[ f(x)= x^3 -3x \] tiene pendiente cero (tangente horizontal).

Reflexión: «Pendiente horizontal» se traduce en derivada = 0. Estos puntos suelen ser críticos: máximos, mínimos o inflexiones.

Solución paso a paso:

1. Derivar la función: \[ f'(x)= 3x^2 -3. \]
2. Igualar a cero: \[ 3x^2 -3=0 \quad \Rightarrow \quad x^2=1 \quad \Rightarrow \quad x= \pm1. \]

Interpretación: Hay dos puntos donde la pendiente es 0: \( x=1 \) y \( x=-1 \). Después, con la segunda derivada o un análisis más detallado, sabremos si son cimas, valles o inflexiones.

Resultado: \(\boxed{x=1 \text{ y } x=-1}\)

Ejercicio 9: Derivada y aproximación local

Planteamiento: Estima el valor de \[ f(2.1) \] para \[ f(x) = x^2 \] usando la recta tangente en \( x=2 \).

Reflexión: Para valores cerca de \( x=2 \), la recta tangente aproxima muy bien a la función. Es el principio de la «linealización».

Solución paso a paso:

1. Derivar: \[ f'(x)= 2x \quad \Rightarrow \quad f'(2)=4. \] Esta es la pendiente en \( x=2 \).
2. Conocer el valor de la función en \( x=2 \): \[ f(2)= (2)^2=4. \]
3. Formar la ecuación de la tangente: \[ \text{Tangente: } y – f(2)= f'(2)\,(x -2). \] Sustituyendo valores: \[ y -4=4(x -2). \]
4. Estimar en \( x=2.1 \): \[ y-4=4(2.1-2)=4(0.1)=0.4 \quad \Rightarrow \quad y=4.4. \]

Interpretación: Estimamos \( f(2.1) \approx 4.4 \). El valor real es \( 2.1^2=4.41 \). Vemos que la aproximación es muy cercana, lo que muestra el poder de la derivada.

Resultado: \(\boxed{4.4}\) (estimación usando la tangente)

Ejercicio 10: La derivada es un límite

Planteamiento: Calcula la derivada de \[ f(x)=3x^2 \] en \( x=1 \), usando directamente la definición formal de derivada.

Reflexión profunda: La derivada en un punto es, en esencia, un límite: \[ f'(x)= \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \] Este límite «mide» la pendiente de la secante cuando \( h \) tiende a 0, hasta convertirse en la tangente.

Solución paso a paso:

1. Escribir la definición en \( x=1 \): \[ f'(1)= \lim_{h\to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}. \]
2. Calcular \( f(1) \): \[ f(1)= 3(1)^2=3. \]
3. Calcular \( f(1+h) \): \[ f(1+h)= 3(1+h)^2= 3(1+2h+h^2)=3+6h+3h^2. \]
4. Sustituir en el límite: \[ \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{(3+6h+3h^2)-3}{h} = \frac{6h+3h^2}{h} = 6+3h. \]
5. Tomar el límite \( h\to 0 \): \[ \lim_{h\to 0}(6+3h)= 6. \]

Interpretación: La derivada de \( 3x^2 \) en \( x=1 \) es \( 6 \). Pero lo importante aquí es ver que todo nace de un proceso de límite, donde \( h\to 0 \).

Resultado: \(\boxed{6}\)