Esta ecuación exponencial muestra cómo la variable x influye en la potencia de 0.5, que es 1/2. Resolverla implica reconocer que 0,125 equivale a 1/8 y expresar ambas cantidades como potencias de 2. De este modo, se igualan los exponentes y se halla el valor de x.
\(\displaystyle 0{,}5^x = 0{,}125\)
Paso 1: Expresar en forma de potencias de 2
Reconocemos que \(0{,}5 = \tfrac{1}{2}\) y \(0{,}125 = \tfrac{1}{8}\). Esto permite reescribir la ecuación como:
\[ \left(\tfrac{1}{2}\right)^x = \tfrac{1}{8}. \]A su vez, \(\tfrac{1}{2} = 2^{-1}\) y \(\tfrac{1}{8} = 2^{-3}\). Por lo tanto, la ecuación queda de la siguiente forma:
\[ \left(2^{-1}\right)^x = 2^{-3}. \]Simplificando el lado izquierdo:
\[ 2^{-x} = 2^{-3}. \]Paso 2: Igualar los exponentes
Dado que las bases son iguales (\(2\)) y distintas de 1, se pueden igualar los exponentes directamente:
\[ -x = -3. \]Despejando \(x\):
\[ x = 3. \]Comprobación rápida (opcional)
Para confirmar, sustituimos \(x = 3\) en la ecuación original:
- Lado izquierdo: \[ 0{,}5^3 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8} = 0{,}125. \]
- Lado derecho: \[ 0{,}125. \]
Los dos lados coinciden, por lo que \(x = 3\) es la solución correcta.
Resultado Final
La solución a la ecuación es:
\[ \boxed{x = 3}. \]