Ejercicio: Demostrar que \(\displaystyle \frac{2\,\sin(x) + 3}{2\,\tan(x) + 3\,\sec(x)} = \cos(x).\)

En este ejercicio, se busca simplificar la fracción utilizando las definiciones de \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) y \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), para llegar a la expresión \(\cos(x)\).

Paso 1: Expresar la tangente y la secante en función de seno y coseno

Sabemos que: \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \quad \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}. \] Sustituyendo en el denominador: \[ 2\,\tan(x) + 3\,\sec(x) = 2\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + 3\frac{1}{\cos(x)} = \frac{2\,\sin(x) + 3}{\cos(x)}. \]

Paso 2: Formar la fracción completa y simplificar

Reemplazamos el denominador en la fracción original: \[ \frac{2\,\sin(x) + 3}{2\,\tan(x) + 3\,\sec(x)} = \frac{2\,\sin(x) + 3}{\frac{2\,\sin(x) + 3}{\cos(x)}}. \] Al dividir por una fracción, es equivalente a multiplicar por su inverso: \[ = (2\,\sin(x) + 3) \times \frac{\cos(x)}{2\,\sin(x) + 3} = \cos(x). \]

Resultado Final

\(\boxed{\frac{2\,\sin(x) + 3}{2\,\tan(x) + 3\,\sec(x)} = \cos(x)}\)