Ejercicio 1: Hallar el área bajo la curva \( f(x)=x^2 \) en el intervalo \([0,1]\).
\( A = \int_{0}^{1} x^2\,dx \)
Paso 1: Configurar la integral
Se debe calcular la integral de \( x^2 \) desde 0 hasta 1.
Paso 2: Integrar
\( \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C \)
Paso 3: Evaluar en los extremos
\( A = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{1}{3}}\)
Ejercicio 2: Hallar el área encerrada entre \( y=x \) y \( y=x^2 \) en el intervalo \([0,1]\).
\( A = \int_{0}^{1} (x – x^2)\,dx \)
Paso 1: Identificar la función superior e inferior
En \([0,1]\), \( y=x \) es mayor que \( y=x^2 \).
Paso 2: Configurar la integral del área
\( A = \int_{0}^{1} \left[x – x^2\right]\,dx \)
Paso 3: Integrar y evaluar
\( \int (x – x^2)\,dx = \frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3} \)
\( A = \left[\frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{1}{6}}\)
Ejercicio 3: Hallar el área bajo la curva \( f(x)=\sqrt{x} \) en el intervalo \([0,4]\).
\( A = \int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx \)
Paso 1: Reescribir la función
Escribimos \( \sqrt{x} \) como \( x^{\frac{1}{2}} \).
Paso 2: Integrar
\( \int x^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C \)
Paso 3: Evaluar en [0,4]
\( A = \left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8)= \frac{16}{3} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{16}{3}}\)
Ejercicio 4: Hallar el área entre las curvas \( y=e^{2x} \) y \( y=e^x \) en el intervalo \([0,1]\).
\( A = \int_{0}^{1} \left(e^{2x}-e^x\right)dx \)
Paso 1: Integrar cada término
\( \int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C \) y \( \int e^x\,dx = e^x + C \)
Paso 2: Evaluar en [0,1]
\( A = \left[\frac{e^{2x}}{2} – e^x\right]_0^1 = \left(\frac{e^2}{2}-e\right) – \left(\frac{1}{2}-1\right) \)
\( = \frac{e^2}{2} – e + \frac{1}{2} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{e^2}{2} – e + \frac{1}{2}}\)
Ejercicio 5: Calcular el área de un pétalo de la rosa en coordenadas polares: \( r=\cos(2\theta) \).
\( A = \frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos^2(2\theta)\,d\theta \)
Paso 1: Determinar los límites
Para \( r=\cos(2\theta) \), un pétalo se obtiene para \( \theta \in \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right] \).
Paso 2: Aplicar la fórmula del área polar
\( A = \frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos^2(2\theta)\,d\theta \)
Paso 3: Utilizar la identidad trigonométrica
\( \cos^2(2\theta)=\frac{1+\cos(4\theta)}{2} \)
\( A = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left(1+\cos(4\theta)\right)d\theta \)
Paso 4: Integrar y evaluar
\( \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1\,d\theta = \frac{\pi}{2} \) y \( \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos(4\theta)\,d\theta= \left[\frac{\sin(4\theta)}{4}\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=0 \)
\( A = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{\pi}{8}}\)
Ejercicio 6: Hallar el área entre las curvas \( f(x)=x \) y \( g(x)=x^3 \) en el intervalo \([0,1]\).
\( A = \int_{0}^{1} \Bigl[x – x^3\Bigr]dx \)
Paso 1: Escribir la función a integrar
El área entre las curvas se obtiene con \( A = \int_{0}^{1} \Bigl[f(x)-g(x)\Bigr]dx = \int_{0}^{1} \Bigl(x-x^3\Bigr)dx \).
Paso 2: Calcular la integral
\( \int (x-x^3)dx = \frac{x^2}{2} – \frac{x^4}{4} \)
Evaluando de 0 a 1: \( A = \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{1}{4}}\)
Ejercicio 7: Hallar el área entre \( f(x)=\cos(x) \) y \( g(x)=\sin(x) \) en el intervalo \([0, \pi/4]\).
\( A = \int_{0}^{\pi/4} \Bigl[\cos(x)-\sin(x)\Bigr]dx \)
Paso 1: Determinar la función mayor
En el intervalo \([0,\pi/4]\), se tiene que \( \cos(x) \ge \sin(x) \).
Paso 2: Integrar
\( \int (\cos(x)-\sin(x))dx = \sin(x)+\cos(x) \)
Evaluando de 0 a \( \pi/4 \): \( A = \Bigl[\sin(x)+\cos(x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(0+1\right) = \sqrt{2}-1 \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \sqrt{2}-1}\)
Ejercicio 8: Hallar el área entre \( f(x)=\ln(x) \) y \( g(x)=1 \) en el intervalo \([1,e]\).
\( A = \int_{1}^{e} \Bigl[1-\ln(x)\Bigr]dx \)
Paso 1: Calcular cada integral
\( \int 1\,dx = x \) y \( \int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-x \).
Paso 2: Evaluar la integral definida
\( A = \left[ x – (x\ln(x)-x)\right]_{1}^{e} = \left[ 2x – x\ln(x) \right]_{1}^{e} \)
En \( x=e \): \( 2e – e\cdot1 = e \). En \( x=1 \): \( 2-1\cdot0=2 \). Por tanto, \( A = e-2 \)
Resultado Final
\(\boxed{A = e-2}\)
Ejercicio 9: Hallar el área entre \( f(x)=2x \) y \( g(x)=x^2 \) en el intervalo \([0,2]\).
\( A = \int_{0}^{2} \Bigl[2x-x^2\Bigr]dx \)
Paso 1: Determinar la función mayor
En \([0,2]\), \( 2x \ge x^2 \) (se igualan en 0 y 2).
Paso 2: Calcular la integral
\( \int (2x-x^2)dx = x^2-\frac{x^3}{3} \)
Evaluando de 0 a 2: \( A = \left(4-\frac{8}{3}\right)=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{4}{3}}\)
Ejercicio 10: Hallar el área entre \( f(x)=e^x \) y \( g(x)=e^{-x} \) en el intervalo \([0,1]\).
\( A = \int_{0}^{1} \Bigl[e^x-e^{-x}\Bigr]dx \)
Paso 1: Calcular las integrales individuales
\( \int e^x\,dx = e^x \) y \( \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} \)
Paso 2: Evaluar la integral definida
\( A = \left[e^x+e^{-x}\right]_{0}^{1} = \Bigl(e+e^{-1}\Bigr)-\Bigl(1+1\Bigr)=e+e^{-1}-2 \)
Resultado Final
\(\boxed{A = e+e^{-1}-2}\)
Ejercicio 11: Hallar el área de un rectángulo definido por \( 0 \le x \le a \) y \( 0 \le y \le b \) usando una integral doble.
\( A = \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} 1\,dy\,dx \)
Paso 1: Establecer la integral doble
La función a integrar es 1, ya que se busca el área del dominio \( R=\{(x,y): 0 \le x \le a,\;0 \le y \le b\} \).
Paso 2: Integrar respecto a \(y\)
\( \int_{0}^{b} 1\,dy = b \)
Paso 3: Integrar respecto a \(x\)
\( \int_{0}^{a} b\,dx = b\cdot a \)
Resultado Final
\(\boxed{A = ab}\)
Ejercicio 12: Hallar el área de un círculo de radio \( R \) usando una integral doble en coordenadas polares.
\( A = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r\,dr\,d\theta \)
Paso 1: Expresar el área en coordenadas polares
Recordamos que en coordenadas polares el elemento de área es \( dA = r\,dr\,d\theta \).
Paso 2: Integrar respecto a \( r \)
\( \int_{0}^{R} r\,dr = \frac{R^2}{2} \)
Paso 3: Integrar respecto a \( \theta \)
\( \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \pi R^2}\)
Ejercicio 13: Hallar el área de la región limitada por \( y=x^2 \) y \( y=4 \) usando una integral doble.
\( A = \int_{x=-2}^{2} \int_{y=x^2}^{4} 1\,dy\,dx \)
Paso 1: Determinar los límites de integración
Los puntos de intersección se obtienen de \( x^2=4 \) → \( x=-2 \) y \( x=2 \). Para cada \( x \), \( y \) varía de \( y=x^2 \) a \( y=4 \).
Paso 2: Integrar respecto a \( y \)
\( \int_{y=x^2}^{4} 1\,dy = 4-x^2 \)
Paso 3: Integrar respecto a \( x \)
\( A = \int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx \)
Debido a la simetría, \( A = 2\int_{0}^{2} (4-x^2)\,dx \).
Calculamos: \( \int_{0}^{2} (4-x^2)\,dx = \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3} \)
Así, \( A = 2\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{3} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{32}{3}}\)
Ejercicio 14: Hallar el área de la región delimitada por \( y=x \) y \( y=\sqrt{x} \) usando una integral doble.
\( A = \int_{x=0}^{1} \int_{y=x}^{\sqrt{x}} 1\,dy\,dx \)
Paso 1: Determinar los límites
La intersección de \( y=x \) y \( y=\sqrt{x} \) se da en \( x=0 \) y \( x=1 \). Para cada \( x \) en \([0,1]\), \( y \) varía de \( x \) a \( \sqrt{x} \).
Paso 2: Integrar respecto a \( y \)
\( \int_{y=x}^{\sqrt{x}} 1\,dy = \sqrt{x} – x \)
Paso 3: Integrar respecto a \( x \)
\( A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} – x)\,dx \)
\( = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} – \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{2}{3} – \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6}=\frac{1}{6} \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \frac{1}{6}}\)
Ejercicio 15: Hallar el área de la elipse \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) usando integrales dobles.
\( A = \iint_{R} 1\,dx\,dy \)
Paso 1: Cambio de variables
Realizamos la sustitución \( u=\frac{x}{a} \) y \( v=\frac{y}{b} \), de modo que \( x=au \) y \( y=bv \).
El elemento de área se transforma: \( dx\,dy = ab\,du\,dv \).
Paso 2: Reconocer la región transformada
La elipse se transforma en el círculo \( u^2+v^2 \le 1 \), cuyo área es \( \pi \).
Paso 3: Calcular el área
\( A = ab\iint_{u^2+v^2\le1} du\,dv = ab\cdot\pi \)
Resultado Final
\(\boxed{A = \pi a b}\)