Las integrales pueden parecer muy complicadas cuando se estudian por primera vez. Sin embargo, a medida que uno profundiza en su significado, descubre que sirven para medir y “acumular” cantidades muy diversas. Por ejemplo, con una integral podemos obtener distancias totales a partir de velocidades, volúmenes completos a partir de secciones transversales y cantidades acumuladas cuando algo va cambiando a lo largo del tiempo.
Integrales en física y en ingeniería
Las integrales pueden parecer muy complicadas cuando se estudian por primera vez. Sin embargo, a medida que uno profundiza en su significado, descubre que sirven para medir y “acumular” cantidades muy diversas. Por ejemplo, con una integral podemos obtener distancias totales a partir de velocidades, volúmenes completos a partir de secciones transversales y cantidades acumuladas cuando algo va cambiando a lo largo del tiempo.
Colección de ejercicios aplicación del cálculo integral.
A continuación tienes una colección de ejercicios en donde, de forma práctica, se aplica el cálculo de integrales.
Ejercicio 1: Cálculo del trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una distancia.
\( W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx \)
Paso 1: Planteamiento del problema
Supongamos que la fuerza que actúa sobre un objeto varía con la posición según la función \( F(x) = 3x^2 + 2x \) (en Newtons) y que el objeto se desplaza desde \( x = 0 \) hasta \( x = 4 \) metros.
Paso 2: Configurar la integral
El trabajo realizado se obtiene integrando la fuerza a lo largo del desplazamiento:
\( W = \int_{0}^{4} \left(3x^2 + 2x\right) dx \)
Paso 3: Calcular la integral
Integrando término a término:
\( \int 3x^2\,dx = 3\,\frac{x^3}{3} = x^3 \quad\text{y}\quad \int 2x\,dx = 2\,\frac{x^2}{2} = x^2 \)
Por lo tanto, la integral se convierte en:
\( W = \left[ x^3 + x^2 \right]_{0}^{4} = \left(4^3 + 4^2\right) – \left(0^3 + 0^2\right) \)
Paso 4: Evaluar y obtener el resultado
\( W = 64 + 16 = 80 \, \text{Joules} \)
Resultado Final
\(\boxed{ W = 80 \, \text{Joules} }\)
Ejercicio 2: Determinar el centro de masa de una varilla de longitud \(L\) cuya densidad lineal varía según \( \lambda(x) = 2 + x \) (en kg/m), con \( x \) medido desde el extremo izquierdo, donde \( L = 5 \) m.
\( \bar{x} = \frac{\int_{0}^{L} x\,\lambda(x)\,dx}{\int_{0}^{L} \lambda(x)\,dx} \)
Paso 1: Calcular la masa total
La masa total \( M \) de la varilla es:
\( M = \int_{0}^{5} (2+x)\,dx \)
Integrando:
\( M = \left[ 2x + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{5} = \left(2\cdot5 + \frac{5^2}{2}\right) = 10 + \frac{25}{2} = 10 + 12.5 = 22.5 \, \text{kg} \)
Paso 2: Calcular el momento respecto al origen
Se calcula el momento:
\( M_x = \int_{0}^{5} x\,(2+x)\,dx \)
Expandir el integrando:
\( M_x = \int_{0}^{5} (2x + x^2)\,dx \)
Integrando término a término:
\( \int 2x\,dx = x^2 \quad\text{y}\quad \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} \)
\( M_x = \left[ x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} = \left(5^2 + \frac{5^3}{3}\right) = 25 + \frac{125}{3} \)
Simplificando:
\( M_x = 25 + 41.67 \approx 66.67 \, \text{kg·m} \)
Paso 3: Determinar el centro de masa
\( \bar{x} = \frac{66.67}{22.5} \approx 2.96 \, \text{m} \)
Resultado Final
\(\boxed{ \bar{x} \approx 2.96 \, \text{m} }\)
Ejercicio 3: Calcular el momento de inercia de una varilla delgada de longitud \(L = 3\) m y masa \(M = 6\) kg, respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por uno de sus extremos.
\( I = \int_{0}^{L} x^2\,dm \)
Paso 1: Relacionar la masa diferencial
La densidad lineal es:
\( \lambda = \frac{M}{L} = \frac{6}{3} = 2 \, \text{kg/m} \)
Entonces, \( dm = \lambda\,dx = 2\,dx \).
Paso 2: Configurar la integral
Se tiene:
\( I = \int_{0}^{3} x^2 (2\,dx) = 2 \int_{0}^{3} x^2\,dx \)
Paso 3: Calcular la integral
Usamos la regla de la potencia:
\( \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} \)
\( I = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 2 \left( \frac{27}{3} \right) = 2 \cdot 9 = 18 \, \text{kg·m}^2 \)
Resultado Final
\(\boxed{ I = 18 \, \text{kg·m}^2 }\)
Ejercicio 4: Determinar la fuerza total ejercida por un fluido sobre una placa vertical sumergida. La presión en función de la profundidad es \( p(y) = \rho g y \) y la placa tiene una anchura \( w = 2 \) m y se extiende desde \( y = 0 \) hasta \( y = 5 \) m. Sea \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) y \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \).
\( F = \int_{0}^{5} p(y) \, w\,dy \)
Paso 1: Expresar la presión en función de la profundidad
La presión a una profundidad \( y \) es:
\( p(y) = \rho g y = 1000 \cdot 9.8 \cdot y = 9800\,y \, \text{Pa} \)
Paso 2: Configurar la integral para la fuerza
La fuerza diferencial sobre una franja horizontal de altura \( dy \) es:
\( dF = p(y) \, w\,dy = 9800\,y \cdot 2\,dy = 19600\,y\,dy \)
Por lo tanto, la fuerza total es:
\( F = \int_{0}^{5} 19600\,y\,dy \)
Paso 3: Calcular la integral
Integrando:
\( \int_{0}^{5} y\,dy = \frac{y^2}{2} \Big|_{0}^{5} = \frac{25}{2} = 12.5 \)
\( F = 19600 \cdot 12.5 = 245000 \, \text{N} \)
Resultado Final
\(\boxed{ F = 245000 \, \text{N} }\)
Ejercicio 5: Calcular el campo eléctrico en el eje perpendicular a una línea de carga uniformemente distribuida. Sea la densidad lineal de carga \( \lambda \) (C/m) y la línea se extiende de \( x = -L \) a \( x = L \). Se desea encontrar el campo eléctrico en un punto ubicado a una distancia \( d \) del centro de la línea a lo largo del eje vertical.
\( E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{-L}^{L} \frac{\lambda\,dx}{(x^2+d^2)^{3/2}}\,d \)
Paso 1: Planteamiento del problema
La contribución diferencial al campo eléctrico en el eje vertical, debida a un elemento de carga \( dq = \lambda\,dx \), se expresa como:
\( dE = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda\,dx}{(x^2+d^2)} \frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda\,d\,dx}{(x^2+d^2)^{3/2}} \)
Paso 2: Configurar la integral
Debido a la simetría, las componentes horizontales se cancelan, y solo se suma la componente vertical:
\( E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \lambda\,d \int_{-L}^{L} \frac{dx}{(x^2+d^2)^{3/2}} \)
Paso 3: Evaluar la integral
La integral:
\( \int \frac{dx}{(x^2+d^2)^{3/2}} = \frac{x}{d^2\sqrt{x^2+d^2}} + C \)
Evaluando de \( -L \) a \( L \):
\( \left[\frac{x}{d^2\sqrt{x^2+d^2}}\right]_{-L}^{L} = \frac{L}{d^2\sqrt{L^2+d^2}} – \left(-\frac{L}{d^2\sqrt{L^2+d^2}}\right) = \frac{2L}{d^2\sqrt{L^2+d^2}} \)
Paso 4: Expresar el campo eléctrico
\( E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \lambda\,d \cdot \frac{2L}{d^2\sqrt{L^2+d^2}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda L}{d\sqrt{L^2+d^2}} \)
Resultado Final
\(\boxed{ E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\lambda L}{d\sqrt{L^2+d^2}} }\)
Ejercicio 6: Calcular la función de velocidad y la posición de un objeto sometido a una aceleración variable.
\( a(t)= 4t + 2 \)
Paso 1: Encontrar la velocidad \(v(t)\)
La aceleración es la derivada de la velocidad:
\( v(t) = \int a(t) \, dt = \int (4t+2)\,dt \)
Integrando término a término:
\( \int 4t\,dt = 2t^2 \quad \text{y} \quad \int 2\,dt = 2t \)
Entonces, \( v(t)= 2t^2 + 2t + C \). Con la condición inicial \( v(0)=3\, \text{m/s} \), se obtiene \( C=3 \):
\( v(t)= 2t^2 + 2t + 3 \)
Paso 2: Encontrar la posición \( s(t) \)
La velocidad es la derivada de la posición:
\( s(t)= \int v(t)\, dt = \int \left(2t^2+2t+3\right) dt \)
Integrando:
\( \int 2t^2\,dt = \frac{2t^3}{3}, \quad \int 2t\,dt = t^2, \quad \int 3\,dt = 3t \)
Así, \( s(t)= \frac{2t^3}{3} + t^2 + 3t + C’ \). Con la condición \( s(0)=0 \), \( C’=0 \).
Resultado Final
\(\boxed{ v(t)= 2t^2 + 2t + 3,\quad s(t)= \frac{2t^3}{3} + t^2 + 3t }\)
Ejercicio 7: Calcular el trabajo realizado al comprimir un resorte no lineal cuya fuerza es \( F(x)= kx + \alpha x^3 \), para \( x \) desde 0 hasta 0.1 m, donde \( k=200\, \text{N/m} \) y \( \alpha=50\, \text{N/m}^3 \).
\( W = \int_{0}^{0.1} (kx+\alpha x^3)\,dx \)
Paso 1: Plantear la integral del trabajo
\( W = \int_{0}^{0.1} \left(200x + 50x^3\right) dx \)
Paso 2: Integrar término a término
\( \int 200x\,dx = 200\,\frac{x^2}{2}=100x^2,\quad \int 50x^3\,dx = 50\,\frac{x^4}{4}=12.5x^4 \)
Paso 3: Evaluar la integral en los límites
\( W = \left[100x^2+12.5x^4\right]_{0}^{0.1} = 100(0.1)^2+12.5(0.1)^4 \)
\( W = 100(0.01)+12.5(0.0001)= 1 + 0.00125 = 1.00125 \, \text{Joules} \)
Resultado Final
\(\boxed{ W \approx 1.00125 \, \text{Joules} }\)
Ejercicio 8: Calcular el momento de inercia de un disco delgado de radio \( R=0.5 \) m y masa \( M=2 \) kg respecto a su eje central perpendicular al plano del disco.
\( I = \int_{0}^{R} r^2\,dm \)
Paso 1: Expresar \( dm \) en función de \( r \)
La densidad superficial del disco es:
\( \sigma = \frac{M}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi (0.5)^2} = \frac{2}{0.25\pi} = \frac{8}{\pi} \, \text{kg/m}^2 \)
En coordenadas polares, el elemento de masa es:
\( dm = \sigma\,dA = \sigma\,(2\pi r\,dr) \)
Paso 2: Configurar la integral
\( I = \int_{0}^{R} r^2 (\sigma\,2\pi r\,dr) = 2\pi\sigma\int_{0}^{0.5} r^3\,dr \)
Paso 3: Calcular la integral
\( \int_{0}^{0.5} r^3\,dr = \frac{r^4}{4}\Big|_{0}^{0.5} = \frac{(0.5)^4}{4} = \frac{0.0625}{4} = 0.015625 \)
Entonces, \( I = 2\pi \cdot \frac{8}{\pi} \cdot 0.015625 = 16 \cdot 0.015625 = 0.25 \, \text{kg·m}^2 \)
Resultado Final
\(\boxed{ I = 0.25 \, \text{kg·m}^2 }\)
Ejercicio 9: Calcular la carga total \( Q \) de una esfera de radio \( R=0.2 \) m cuya densidad volumétrica de carga varía según \( \rho(r)=\rho_0\left(1-\frac{r}{R}\right) \) con \( \rho_0=10^6 \, \text{C/m}^3 \).
\( Q = \int_{0}^{R} \rho(r)\,dV \)
Paso 1: Expresar el elemento de volumen en coordenadas esféricas
\( dV = 4\pi r^2\,dr \)
Paso 2: Configurar la integral de la carga
\( Q = \int_{0}^{0.2} \rho_0\left(1-\frac{r}{0.2}\right) 4\pi r^2\,dr \)
Paso 3: Evaluar la integral
Primero, saca la constante \( 4\pi\rho_0 \):
\( Q = 4\pi\rho_0 \int_{0}^{0.2} \left(1-\frac{r}{0.2}\right) r^2\,dr \)
Expandir el integrando:
\( \left(1-\frac{r}{0.2}\right) r^2 = r^2 – \frac{r^3}{0.2} \)
Integrar término a término:
\( \int_{0}^{0.2} r^2\,dr = \frac{(0.2)^3}{3} = \frac{0.008}{3} \quad\text{y}\quad \int_{0}^{0.2} r^3\,dr = \frac{(0.2)^4}{4} = \frac{0.0016}{4} = 0.0004 \)
Así, la integral es:
\( \frac{0.008}{3} – \frac{0.0004}{0.2} = \frac{0.008}{3} – 0.002 \)
Calculamos numéricamente: \( \frac{0.008}{3} \approx 0.00267 \) y \( 0.00267 – 0.002 = 0.00067 \)
Entonces, con \( \rho_0=10^6 \):
\( Q = 4\pi \times 10^6 \times 0.00067 \approx 4\pi \times 670 \approx 8400 \, \text{C} \)
Resultado Final
\(\boxed{ Q \approx 8400 \, \text{C} }\)
Ejercicio 10: Calcular el trabajo requerido para levantar un cable de longitud \( L=10 \) m y densidad lineal \( \lambda=0.5 \, \text{kg/m} \) desde el suelo, considerando \( g=9.8 \, \text{m/s}^2 \). Al levantar el cable, cada segmento se eleva una distancia variable.
\( W = \int_{0}^{L} \lambda g (L-y)\,dy \)
Paso 1: Plantear la función del trabajo diferencial
Cada segmento a una altura \( y \) se levanta \( (L-y) \) metros, por lo que el trabajo diferencial es:
\( dW = \lambda g (L-y)\,dy \)
Paso 2: Configurar la integral total
\( W = \int_{0}^{10} 0.5 \times 9.8 \,(10-y)\,dy \)
Paso 3: Calcular la integral
Primero, saca la constante:
\( W = 4.9 \int_{0}^{10} (10-y)\,dy \)
La integral se evalúa:
\( \int_{0}^{10} (10-y)\,dy = \left[10y-\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{10} = \left(100-\frac{100}{2}\right)= 100-50 = 50 \)
\( W = 4.9 \times 50 = 245 \, \text{Joules} \)
Resultado Final
\(\boxed{ W = 245 \, \text{Joules} }\)