¿Te has preguntado cómo resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente? Aquí tenemos \(2^{x+3} = 3^{x+2}\), un ejemplo perfecto para ver cómo aplicar logaritmos y propiedades exponenciales para aislar x. Veamos el proceso paso a paso.

Paso 1: Aplicar logaritmos a ambos lados

Para “bajar” el exponente, aplicamos logaritmos (por ejemplo, logaritmo natural) a ambos lados:

\[ \ln\bigl(2^{x+3}\bigr) = \ln\bigl(3^{x+2}\bigr). \]

Así, aprovechamos la propiedad \(\ln(a^b) = b \ln(a)\).

Paso 2: Usar la propiedad de los logaritmos

Aplicamos \(\ln(a^b) = b \ln(a)\) en cada lado:

\[ (x+3)\ln(2) = (x+2)\ln(3). \]

Paso 3: Desarrollar y agrupar términos

Expandimos ambos lados:

• Lado izquierdo: \((x+3)\ln(2) = x\ln(2) + 3\ln(2)\).
• Lado derecho: \((x+2)\ln(3) = x\ln(3) + 2\ln(3)\).

Igualamos:

\[ x\ln(2) + 3\ln(2) = x\ln(3) + 2\ln(3). \]

Ahora, agrupamos los términos con x en un lado y los constantes en el otro:

\[ x\ln(2) – x\ln(3) = 2\ln(3) – 3\ln(2). \]

Paso 4: Factorizar x

Factorizamos x en el lado izquierdo:

\[ x(\ln(2) – \ln(3)) = 2\ln(3) – 3\ln(2). \]

Para despejar x, dividimos ambos lados por \(\ln(2) – \ln(3)\):

\[ x = \frac{2\ln(3) – 3\ln(2)}{\ln(2) – \ln(3)}. \]

Observa que \(\ln(2) – \ln(3) = \ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\), por lo que a veces se expresa como:

\[ x = \frac{2\ln(3) – 3\ln(2)}{\ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)}. \]

Solución Final

La solución exacta es:

\[ \boxed{x \;=\; \frac{2\ln(3) – 3\ln(2)}{\ln(2) – \ln(3)}} \]

Para un valor numérico aproximado, utilizamos:

• \(\ln(2) \approx 0.693147\)
• \(\ln(3) \approx 1.098612\)

Entonces:

\(2\ln(3) – 3\ln(2) \approx 2 \times 1.098612 \;-\; 3 \times 0.693147 \;=\; 2.197224 \;-\; 2.079441 \;=\; 0.117783\)

\(\ln(2) – \ln(3) \approx 0.693147 \;-\; 1.098612 \;=\; -0.405465\)

Por lo tanto:

\[ x \approx \frac{0.117783}{-0.405465} \approx -0.2906. \]

* Redondeado a cuatro decimales, x es aproximadamente -0.2906.